Größe von Vektorgrößen

Die Gravitationskraft in Vektorform ist definiert als

F → = − G M M R 3 R →
Viele Lehrbücher definieren seine Größe als
F G = − G M M R 2

Allerdings bei der Ableitung der Gravitationspotentialenergie U G = − G M M R

W durch Schwerkraft = ∫ C F → grav ⋅ D R → = ∫ R 1 R 2 F   D R cos ⁡ ( 180 ∘ ) = − ∫ R 1 R 2 F   D R
= − ∫ R 1 R 2 G M M R 2   D R = + G M M R | R 1 R 2 = G M M R 2 − G M M R 1

Wo R 2 > R 1

seit Δ U G = − W B j . G R A v

Δ U G = U 2 − U 1 = G M M ( 1 R 1 − 1 R 2 )

Einstellung R 2 = ∞ , U 2 = 0

− U 1 = G M M 1 R 1

Deshalb

U = − G M M R

was impliziert, dass die korrekte Schreibweise der Größe sein sollte F = G M M R 2 (dh kein Minuszeichen), da die Richtung bereits (durch cos(180)) während der Punktproduktoperation berücksichtigt wurde.

Soll ich also den Ausdruck der Größe immer ohne das negative Vorzeichen verwenden, weil die Richtung der Kraft nur "später" in dem Sinne zu berücksichtigen ist, dass das negative Vorzeichen nicht Teil der Größe sein sollte?

Ich habe die gleichen Probleme, wenn ich mich mit der Kraft befasse, die eine Feder im Hookeschen Gesetz ausübt, z. B. bei der Ableitung des EPE:

W S = ∫ F → S   ⋅ D X → = ∫ X 1 X 2 k X   D X cos ⁡ ( 180 ∘ ) = − ∫ X 1 X 2 k X   D X
Verwenden Δ U S = − W S wird nachgeben U S = 1 2 k X 2 , was das wiederum impliziert F S = k X (statt F S = − k X )

Aber in anderen Ableitungen wie der effektiven Federkonstante einer bestimmten Kombination, F S = − k X wird stattdessen verwendet.

Ich würde Ihnen empfehlen, die Definition der Änderung der potentiellen Energie eines Systems zu lesen.
@Unique Ja und ist nicht Δ U G = − W B j . G R A v mit dieser Definition vereinbar?
Mit Ihrem ersten F meinen Sie vermutlich eher die Vektorkraft auf m als auf M, wobei r die Verschiebung von M nach m ist? Auch F_g ist die F-Komponente entlang der r-Richtung. Und oh, gerade bemerkt, um die Gravitationsenergie zu berechnen, sollten Sie mit der Masse m im Unendlichen beginnen, wo das Potenzial als Null angenommen wird. Ihr r1 sollte also unendlich sein und nicht Ihr r2, und das löst den Minuszeichenfehler.

Antworten (3)

Die Formel

F G = − G M M R 2
ist richtig. Das Minuszeichen steht dafür, dass die Gravitationskraft anziehend ist.

In deiner Berechnung ist ein kleiner Fehler W G , wenn Sie ersetzen F G mit seiner Formel. Die Formel für F G enthält ein Minuszeichen, das das Minus vor dem Integral hätte streichen sollen:

− ∫ R 1 R 2 F   D R = ∫ R 1 R 2 G M M R 2   D R
Das nehme ich auch an, da du benutzt hast cos ⁡ ( 180 ° ) , Sie betrachten den Fall, wo R 2 > R 1 .

Daraus leiten Sie das ab

W G = G M M ( 1 R 1 − 1 R 2 )
und das ist in der Tat positiv, denn man braucht Energie, um zwei Objekte zu trennen, die sich anziehen.

Für eine konservative Kraft, wie die Gravitationskraft oder die elastische Kraft, wird Arbeit auch definiert als W = − Δ U , Wo D e l T A U ist die Änderung der potentiellen Energie. Beachten Sie hier das Minuszeichen. Dafür gibt es einen Grund. Arbeit ist, wie ich oben sagte, die Energie, die benötigt wird, um von einem Ort zum anderen zu gelangen. Es ist positiv, wenn Sie Energie abgeben müssen, und negativ, wenn Sie Energie erhalten (normalerweise kinetische Energie). Das Potential hingegen hat eine andere Interpretation, es ist eine Komponente der Energie, die ein Objekt besitzt.

Da uns normalerweise die Differenz der potentiellen Energie interessiert und nicht ihr absoluter Wert, haben wir eine gewisse Freiheit zu wählen, wann die potentielle Energie 0 ist. Normalerweise wird für den Gravitationsfall 0 als potentielle Energie in unendlicher Entfernung gewählt, während für Das elastische Gehäuse befindet sich in der Ruheposition ( X = 0 ).

Also wenn

W G = G M M R 1 − G M M R 2
Und
W G = − Δ U = U ( R 1 ) − U ( R 2 )
wir bekommen das
U ( R ) = − G M M R
Das Vorzeichen muss nicht geändert werden F . Und das gleiche Prinzip gilt für die elastische Hülle.

Tut W G bezeichnen die Arbeit, die hier gegen die Schwerkraft geleistet wird? In meiner Ableitung W G ist eigentlich die Arbeit, die von der Schwerkraft geleistet wird (Entschuldigung, dass ich es nicht klargestellt habe ...), was ich immer für negativ hielt R 2 > R 1 . Wenn W G Wird die Arbeit DURCH die Schwerkraft erledigt, gibt es dann immer noch einen Fehler?
@EXINT Der einzige Unterschied zwischen Arbeit gegen die Schwerkraft und durch Schwerkraft ist das Vorzeichen des Ergebnisses, die Startformel ist dieselbe. Sie erhalten das falsche Vorzeichen aufgrund des Fehlers, den ich in der zweiten Formel in meiner Antwort korrigiert habe. Gravitationsarbeit sollte immer positiv sein, wenn R 2 > R 1 .
Aber sollte es nicht negativ sein, wenn R ist der nach außen gerichtete radiale Vektor, da die durch die Schwerkraft verrichtete Arbeit entgegen der Bewegungsrichtung ist ( R 2 > R 1 ) ?
@EXINT So wird Arbeit nicht definiert. Arbeit ist die Menge an Energie, die investiert werden muss, um ein Ziel zu erreichen.

Ich möchte nicht die vollständige Ableitung für den Ausdruck der potentiellen Energie eines Systems liefern, aber ich möchte Ihnen die richtige Begründung für die Vorzeichen geben, die bei der Ableitung der Ausdrücke der potentiellen Energie berücksichtigt werden müssen. Bitte beachten Sie die folgende Definition kann dir helfen:-

Die Änderung der potentiellen Energie eines Systems ist definiert als das Negative der Arbeit, die von den inneren konservativen Kräften des Systems verrichtet wird .

Das negative Vorzeichen wirkt sich auf einige Gleichungen aus, die Sie gepostet haben.

Soll ich also den Ausdruck der Größe immer ohne das negative Vorzeichen verwenden, weil die Richtung der Kraft nur "später" in dem Sinne zu berücksichtigen ist, dass das negative Vorzeichen nicht Teil der Größe sein sollte?

Die Antwort ist ja, Sie erinnern sich einfach an die Größe ohne negatives Vorzeichen, da negativ nur eine Richtung vorschlägt und sagt, dass es eine anziehende Kraft ist. Also in der ganzen Physik, um leicht zu verstehen, niemals negativ vor Magnituden setzen, da sie nur Richtung vorschlagen.

Größe von Vektorgrößen
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