Was ist die mathematische Definition von Arbeit?

Question

Was ist die mathematische Definition von Arbeit?

Benutzer31731

Ich suche nach der rein mathematischen Definition von Arbeit , habe aber noch keine Linienintegrale gelernt.

Mein Buch sagt, dass die Arbeit aufgrund einer Kraft ${\bf F}$ ab Punkt $A$ darauf hinweisen $B$ Ist

W = | A B | \cdot | F | \cdot \cos (∠ A B, F)

$W= |AB|\cdot |{\bf F}|\cdot\cos(\angle AB,{\bf F})$

aber es heißt auch, dass dies nur für konstante Kräfte gilt.

Mir wird ein Problem zugewiesen, das mich auffordert, die Arbeit von einem Punkt aus zu bestimmen $A$ Zu $B$ mit Gravitationskraft

F = G M M / R^{2} .

$F=GmM/R^2.$ Ich glaube nicht, dass ich die obige normale Regel anwenden kann, da sie nur für Kräfte funktioniert, die ihre Ausrichtung nicht ändern. Irre ich mich?

Elvex

Dürfen Sie keine Linienintegrale verwenden oder sind Linienintegrale nicht Gegenstand des Unterrichts oder wissen Sie einfach nicht, wie Sie sie auswerten sollen? Ich bin neugierig, weil ein Weg, dies für diese spezifische Kraft zu umgehen, darin besteht, die potentielle Energie zu konstruieren. Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft, was bedeutet, dass sie als Gradient einer Skalarfunktion ausgedrückt werden kann, die zufällig die potentielle Energie ist. Dies bietet eine einfache Möglichkeit, die von diesen Kräften geleistete Arbeit zu berechnen, da Sie zeigen können, dass sie der Änderung der potentiellen Energie entsprechen muss.

Benutzer31731

außerhalb des Unterrichtsbereichs

Elvex

Sind Integrale jeglicher Art außerhalb des Geltungsbereichs der Klasse? Wie Joshphysics weiter unten ausgeführt hat, reduziert sich dieses Linienintegral auf ein sehr einfaches Integral, bei dem die Besonderheiten, dass es sich um ein Linienintegral handelt, nicht wichtig sind. Wenn Sie nicht rechnen sollen, ist die potenzielle Energie wahrscheinlich der richtige Weg.

Benutzer31731

Wir dürfen Integrale verwenden, aber wir haben noch keine Linienintegrale studiert, ich werde sie mir bald ansehen

Taemyr

Für die Schwerkraft ist die geleistete Arbeit gleich der Differenz des Gravitationspotentials mal der Masse des Objekts.

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Was ist die mathematische Definition von Arbeit?

Dürfen Sie keine Linienintegrale verwenden oder sind Linienintegrale nicht Gegenstand des Unterrichts oder wissen Sie einfach nicht, wie Sie sie auswerten sollen? Ich bin neugierig, weil ein Weg, dies für diese spezifische Kraft zu umgehen, darin besteht, die potentielle Energie zu konstruieren. Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft, was bedeutet, dass sie als Gradient einer Skalarfunktion ausgedrückt werden kann, die zufällig die potentielle Energie ist. Dies bietet eine einfache Möglichkeit, die von diesen Kräften geleistete Arbeit zu berechnen, da Sie zeigen können, dass sie der Änderung der potentiellen Energie entsprechen muss.
Sind Integrale jeglicher Art außerhalb des Geltungsbereichs der Klasse? Wie Joshphysics weiter unten ausgeführt hat, reduziert sich dieses Linienintegral auf ein sehr einfaches Integral, bei dem die Besonderheiten, dass es sich um ein Linienintegral handelt, nicht wichtig sind. Wenn Sie nicht rechnen sollen, ist die potenzielle Energie wahrscheinlich der richtige Weg.
Wir dürfen Integrale verwenden, aber wir haben noch keine Linienintegrale studiert, ich werde sie mir bald ansehen
Für die Schwerkraft ist die geleistete Arbeit gleich der Differenz des Gravitationspotentials mal der Masse des Objekts.

JoshPhysik · Answer 1

Lassen $\mathbf x(t)$ sei die Bahn eines Teilchens. Lassen $\mathbf F(t)$ eine Kraft sein, die als Funktion der Zeit auf das Teilchen wirkt, dann ist die von der Kraft von der Zeit verrichtete Arbeit $t_a$ zur Zeit $t_b$ Ist

\begin{aligned} W (T_{B}, T_{A}) = \int_{T_{A}}^{T_{B}} F (T) \cdot \frac{D X}{D T} (T) D T . \end{aligned}

$\begin{align} W(t_b, t_a) = \int_{t_a}^{t_b} \mathbf F(t)\cdot \frac{d\mathbf x}{dt}(t)\, dt. \end{align}$ wobei der mittlere Punkt das Skalarprodukt bezeichnet;

\begin{aligned} F (T) \cdot \frac{D X}{D T} (T) = | F (T) | | \frac{D X}{D T} (T) | \cos θ (T) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf F(t)\cdot \frac{d\mathbf x}{dt}(t) = |\mathbf F(t)|\left|\frac{d\mathbf x}{dt}(t)\right| \cos\theta(t) \end{align}$ Wo

θ (t)

$\theta(t)$ ist der Winkel dazwischen

F (t)

$\mathbf F(t)$ Und

\frac{d x}{d t} (t)

$\frac{d\mathbf x}{dt}(t)$ .

Technisch gesehen ist die Definition, die ich aufgeschrieben habe, auch, wie man Linienintegrale definiert, aber Sie müssen eigentlich nichts über Linienintegrale wissen, um diesen Ausdruck zu verstehen; es ist nur ein Integral in der einzelnen Variablen $t$ .

tcassanelli · Answer 2

Die Definition von Arbeit wird, sagen wir mal, an Vektoren erledigt

\vec{F} = F_{X} \hat{ich} + F_{j} \hat{J} + F_{X} \hat{k},

$\vec F = F_x\hat i+F_y\hat j+F_x\hat k,$ das wäre die Kraft und der Verschiebungsvektor ist es

\vec{ℓ} = ℓ_{X} \hat{ich} + ℓ_{j} \hat{J} + ℓ_{z} \hat{k}

$\vec \ell=\ell_x\hat i+\ell_y \hat j + \ell_z\hat k$ Sie haben also das 3D. Dann ist die Definition

W = \int \vec{F} \cdot D \vec{ℓ}

$W=\int \vec F \cdot d\vec\ell$ auch wäre es gut, sowieso das Skalarprodukt und das Linienintegral sowie die Arbeit zu überprüfen .

Was ist die mathematische Definition von Arbeit?

Benutzer31731

Elvex

Benutzer31731

Elvex

Benutzer31731

Taemyr

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JoshPhysik

tcassanelli

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