Anregungsspektrum von Bose-Einstein-Kondensat

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung

ich ℏ ∂ ψ ∂ T = − ℏ 2 ∇ 2 2 M ψ + v ψ + U 0 | ψ | 2 ψ
( v ist das externe Potential, U 0 die Wechselwirkungskonstante ist) wird üblicherweise verwendet, um die Dynamik eines Bose-Einstein-Kondensats zu beschreiben.

Es wird auch oft verwendet, um das Anregungsspektrum zu finden. Zum Beispiel im einheitlichen Fall v = 0 , unter der Annahme kleiner Störungen [nach CJ Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases]

ψ = { N + [ u e ich ( Q R − ω T ) − v ∗ e − ich ( Q R − ω T ) ] } e − ich μ T / ℏ
und Nehmen der Gleichgewichtskonzentration N und chemisches Potenzial μ = U 0 N , wir bekommen
ℏ ω = ( ℏ 2 Q 2 2 M + U 0 N ) 2 − ( U 0 N ) 2 .
Dies ist ein üblicher Ausdruck für das Spektrum von Bogolyubov-Anregungen, das auch aus der mikroskopischen Mean-Field-Theorie gefunden werden kann. Anregungsenergien in komplizierteren ungleichförmigen Fällen werden auch häufig unter Verwendung der linearisierten Gross-Pitaevskii-Gleichung gefunden.

Jetzt die Frage:

  1. Warum beschreibt die linearisierte Gross-Pitaevskii-Gleichung, die die kohärente Bewegung des Kondensats beschreiben soll, gleichzeitig das Spektrum inkohärenter thermischer Anregungen, die nicht zum Kondensat gehören?

  2. Gibt es einen qualitativen Unterschied zwischen kohärenten Schwingungen des Kondensats und thermischen Anregungen, obwohl sie durch dieselbe Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden?

Warum sagen Sie, dass sie inkohärent sind?
@Abhijit Ich meinte, diese Anregungen sind in einer inkohärenten Mischung mit dem Kondensatzustand in einem thermischen Ensemble. Außerdem bilden sie im Zwei-Fluid-Modell den Normalanteil und gehören somit nicht zum Kondensat.
Ein Beispiel dafür, wann dies auf inkohärente thermische Anregungen angewendet wird, wäre hilfreich.
@Rococo Siehe zB [CJ Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases (2002)], wo die Gross-Pitaevskii-Gleichung verwendet wird, um das Spektrum der Bogolyubov-Anregungen abzuleiten (S. 174-176) und dann die dasselbe Anregungsspektrum wird verwendet, um die Dichte normaler Flüssigkeiten zu berechnen, die aus thermischen Anregungen besteht (S. 267-269). Oder ist diese Übereinstimmung der Spektren nur zufällig?

Antworten (1)

Danke für den Hinweis. Eine vorläufige Antwort:

Ich glaube, die Auflösung findet sich am Anfang von Kap. 8 desselben Buches (Pethick und Smith). Die Autoren erweitern den Zustand um den Grundzustand mit Fluktuationen:

ψ ^ = ψ 0 + δ ψ ^

Berücksichtigt man die Fluktuationen nicht , so erhält man eine klassische Feldtheorie für den Grundzustand, die den Gross-Pitaevskii-Gleichungen folgt und tatsächlich nicht kondensierte Atome berücksichtigen kann. Dagegen beschreibt der Fluktuationsterm, da er Abweichungen vom Grundzustand beschreibt, nicht kondensierte Bosonen. Tatsächlich zeigen die Autoren später (in Gl. 8.35 ff.), wie stark der Kondensatanteil bei gegebener Anregungsmenge abnimmt.

Generell sind sowohl zeitabhängige Schwankungen des Kondensats als auch zeitabhängige Ausstreuungen des Kondensats möglich. Der Unterschied ist im Wesentlichen eine adiabatische versus diabatische Evolution. Stellt man sich ein zeitlich veränderliches externes Potential vor, das sich so langsam ändert, dass sich das Kondensat adiabatisch entwickeln kann, dann lässt sich die daraus resultierende Entwicklung des Kondensats mit der GP-Gleichung beschreiben. Ein externes Potential, das diabatische Übergänge verursacht, die Partikel aus dem Kondensat streuen, muss jedoch mit der oben beschriebenen Quantenbehandlung analysiert werden.

Ich stimme zu, dass es vielleicht richtiger ist, zu behandeln δ ψ ^ als Betreiber. Aber andererseits haben wir ein volles Recht, langsame und glatte Störungen zu berücksichtigen δ ψ des Kondensats (jetzt δ ψ ist ein C -Zahl!), also bleibt meine 2. Frage: Was ist der Unterschied zwischen langsamer glatter Bewegung des Kondensats und nicht kondensierten Fluktuationen?
Ja, ich denke, es gibt hier eine Subtilität, die ich auch nicht vollständig verstehe. Pethick und Smith betrachten erste Störungen der Form N + δ N , von denen sie sagen, dass es Variationen der Grundzustandsdichte sind, und dann Störungen der obigen Form, die für die Erschöpfung des Grundzustands verantwortlich sind.
Okay, nach einigem Lesen (hauptsächlich Leggett, Quantum Liquids) denke ich, dass der Unterschied als adiabatische vs. diabatische Evolution angesehen werden kann. Siehe die Bearbeitung oben.
Vielen Dank für die Bemerkung zur Adiabatizität, ich muss darüber nachdenken. Dennoch lasse ich die Frage offen, um Gelegenheit zu haben, andere Antworten von vielleicht anderen Standpunkten zu erhalten.
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