Bose-Einstein-Kondensationssumme zum Integral

Ich habe eine Frage zur Bose-Einstein-Kondensation. Man sagt nämlich, wenn wir von der Summation über die Anzahl der Teilchen zu einem Integral über die Zustandsdichte gehen, machen wir einen Rechenfehler, wenn die Temperatur unter der kritischen Temperatur liegt, und deshalb schreiben wir:

N = N 0 + N e X .

Wo N ist die Gesamtzahl der Teilchen, N 0 ist die Anzahl der Teilchen im Grundzustand und N e X ist die Anzahl der Teilchen in den angeregten Zuständen (gegeben durch das Integral, das die Zustandsdichte enthält).

Jetzt ist meine Frage: Warum sagen einige Referenzen wie die statistische Physik von Yoshioka, dass wir seitdem die Teilchen im Grundzustand vermissen? D ( ϵ ) = 0 für die Zustandsdichte, während dieser Ausdruck in einem Integral steht? Könnte jemand einen strengeren Beweis oder eine Referenz dafür geben?

Antworten (1)

Wenn zum Beispiel D ( ϵ ) ∝ ϵ Dann ∫ 0 Δ ϵ D ϵ D ( ϵ ) ≈ 0 für jeden kleinen Δ ϵ . Aber was Sie beachten müssen, ist, dass der richtige Ausdruck ist

N = ∑ ich = 1 ∞ N ich ≠ ∫ 0 ∞ D ϵ D ( ϵ )
Die Annäherung der Summe durch das Integral gilt nicht, wenn N 1 Ist Ö ( N ) , weil die Dichte dem Grundzustand (at ϵ = 0 ). Zählt man die Berufe im Intervall [ 0 , Δ ϵ ] diskret haben Sie immer N 1 = Ö ( N ) in der Summe, egal wie klein Δ ϵ Ist. Aber mit dem Integral auf der rechten Seite erhalten Sie ∫ 0 Δ ϵ D ϵ D ( ϵ ) ∝ Δ ϵ 3 / 2 → 0 als ϵ → 0 .

Wie definierst du Δ ϵ 'klein'? Bedeutet dies, dass es zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand liegt? Danke schon mal für die Antwort.
@dani Um die Summe durch eine kontinuierliche Dichte zu approximieren, müssen Sie davon ausgehen, dass es innerhalb des Intervalls viele Energieniveaus gibt Δ ϵ . Ansonsten D ( ϵ ) würde nie glatt sein. Ich habe die Antwort aktualisiert.
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