Anwendungen der algebraischen Topologie auf die Physik

Zuerst eine Warnung: Ich weiß nicht viel über algebraische Topologie oder ihre Verwendung in der Physik, aber ich kenne einige Stellen, also hoffe ich, dass Sie dies nützlich finden werden.

Topologische Defekte im Raum

Das Standardbeispiel (aber sehr schön) ist der Aharonov-Bohm-Effekt , der ein Solenoid und ein geladenes Teilchen berücksichtigt. Wenn Sie die Situation idealisieren, lassen Sie das Solenoid unendlich sein, damit Sie erhalten${\mathbb R}^3$mit einer Zeile entfernt.

Da das Teilchen geladen ist, wandelt es sich unter dem um$U(1)$Eichtheorie. Genauer gesagt wird seine Phase entlang seines Weges parallel transportiert. Wenn der Pfad das Solenoid umschließt, ist die Phase nicht trivial, während die Phase Null ist, wenn er es nicht umschließt. Das ist weil

Die Pointe ist, dass der Phasenfaktor aufgrund des obigen Arguments eine topologische Invariante für Pfade ist, die zwischen zwei festen Punkten verlaufen. Dies erzeugt also eine Interferenz zwischen topologisch unterscheidbaren Pfaden (die möglicherweise einen anderen Phasenfaktor haben).

Instantons

Ein Ort, an dem Homotopie auftaucht, sind Instantons in Eichtheorien.

Insbesondere, wenn man eine Yang-Mills-Theorie in Betracht zieht${\mathbb R}^4$(das bedeutet also euklidische Zeit) und Sie möchten, dass die Lösung (die eine Verbindung ist) eine endliche Energie hat, dann muss ihre Krümmung im Unendlichen verschwinden. Dadurch können Sie Ihre Aufmerksamkeit einschränken$S^3$(daher stammt der Begriff Instanton; es ist lokalisiert) und hier kommt die Homotopie ins Spiel, um Sie über topologisch nicht äquivalente Möglichkeiten zu informieren, wie sich das Feld umwickeln kann$S^3$. Dinge wie diese sind in der modernen Physik (sowohl QCD als auch Stringtheorie) wirklich wichtig, weil Instantons Ihnen eine Möglichkeit geben, über nicht-perturbative Phänomene in QFT zu sprechen. Aber ich fürchte, mehr kann ich dir nicht sagen. (Ich hoffe, ich werde diese Dinge selbst mehr studieren können).

TQFT

Der letzte Punkt (von dem ich fast nichts weiß) betrifft die topologische Quantenfeldtheorie wie die Chern-Simons-Theorie . Diese treten wiederum in der Stringtheorie auf (wie die gesamte moderne Mathematik). Und noch einmal, es tut mir leid, dass ich Ihnen noch nicht mehr als das sagen kann.

Die Fermionenoperatoren gehorchen$b^2~=~{b^\dagger}^2$ $=~0$. Dies ist eine Form der Regel d^2 = 0. Supersymmetrie erlaubt eine Kohomologie von Zuständen$\psi~\in~ker(Q)/im(Q)$, was eine Kohomologie ist. Das$Q$gehorcht$Q^2~=~0$, physikalische Zustände gehorchen$Q\psi~=~0$, aber wo$\psi~\ne~Q\chi$. Dies ist die Grundlage der BRST-Quantisierung (Becchi, Rouet, Stora und Tyutin).

Sean,

Entschuldigung, ich antworte auf eine alte Frage, aber ich habe ein sehr schönes Beispiel für eine Anwendung der fortgeschrittenen algebraischen Topologie in der Physik (es ist Physik, die in Experimenten gesehen wird, nicht willkürliche spekulative Theorien). Es sind die neu entdeckten „topologischen Isolatoren“.

Freie Hamiltonoperatoren (hermitesche Matrizen/Operatoren) kann man topologisch als Funktion verschiedener Symmetrieklassen und räumlicher Dimension klassifizieren. Es stellt sich heraus, dass dies mit der topologischen K-Theorie möglich ist (siehe Periodensystem in http://arxiv.org/abs/1002.3895 ; Tabelle 1 auf Seite 8). Es gibt eine zweifache Periodizität in Symmetrieklassen und Dimension, ausgehend von der Bott-Periodizität der komplexen K-Theorie (Klassifizierung komplexer Vektorbündel bis zur stabilen Äquivalenz). Und in den anderen Symmetrieklassen gibt es eine achtfache Periodizität, die aus der Bott-Periodizität der echten K-Theorie stammt. Weitere Informationen finden Sie hier: http://arxiv.org/abs/0901.2686 und http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/6/065010 (freier Zugang für beide).

Außerdem muss ich erwähnen, dass die 10-Symmetrie-Klassen mathematisch aus der Cartans-Klassifikation symmetrischer Räume stammen und die Bezeichnungen in der oben genannten Tabelle aus dieser Klassifikation stammen.

(Ich habe gerade gesehen, dass oben topologische Isolatoren erwähnt wurden, aber nicht diese Aspekte).

Marek und Eric haben gute Antworten gegeben. Ich denke, viele Teilchenphysiker sind der Homotopietheorie zum ersten Mal im Zusammenhang mit magnetischen Monopolen begegnet. Nehmen Sie die Messgerätegruppe Standardmodell$H=SU(3) \times SU(2) \times U(1)$und in eine GUT-Gauge-Gruppe einbetten$G$wie zum Beispiel$SU(5)$oder$SO(10)$. Unter der Annahme, dass es keine zufällige Entartung gibt, ist der Raum der Minima des Symmetriebrechungspotentials die Nebenklasse$G/H$. Statische, endliche Energiekonfigurationen müssen sich einem Punkt nähern$G/H$bei räumlicher Unendlichkeit und werden daher klassifiziert durch$\pi_2(G/H)$was gleich ist$\pi_1(H)$unter der Vorraussetzung, dass$\pi_1(G)= 0$. Seit$\pi_1(H)=\mathbb{Z}$für diese Konfigurationen gibt es eine ganzzahlige topologische Ladung, die sich als magnetische Monopolladung herausstellt. Sidney Colemans Vorlesungen ( http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img/allpdf?198211084 ) erklären dies viel detaillierter. Kondensierte Materiesysteme haben einen viel größeren Bereich von "Higgs"-Feldern (dh Ordnungsparameter) und haben daher viel interessantere und kompliziertere Symmetriebrechungsmuster und eine viel reichhaltigere Klassifizierung von topologischen Defekten durch Homotopiegruppen. Mermin hat hier eine sehr schöne Rezension: http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i3/p591_1 .

Ein weiteres lustiges Beispiel für die Anwendung der Topologie auf die Physik ist Wittens kohomologischer Feldtheorie-Trick. Mathematiker betrachten dies normalerweise als eine Möglichkeit, neue Vermutungen über die Topologie von Modulräumen anzustellen. Physiker sehen darin eine Möglichkeit, die Topologie von Modulräumen zu verwenden, um die Gültigkeit physikalischer Vermutungen begrenzt zu überprüfen.

Die Idee ist, dass Sie in einigen supersymmetrischen Theorien die Korrelationsfunktionen einiger Observablen in der physikalischen Theorie mit den Korrelationsfunktionen von Observablen in einer topologisch verdrehten Version der physikalischen Theorie abgleichen können. Die relevanten Pfadintegrale in der topologischen Theorie 'lokalisieren' zu Integralen von Differentialformen über Moduli-Räumen von Lösungen von Instanton-Gleichungen, die in den Raum von Feldern eingebettet sind. Das ist bemerkenswert: Ein Maß, das auf einem unendlichdimensionalen Raum von Verteilungen definiert ist, wird letztendlich auf einem darin liegenden endlichdimensionalen Modulraum gestützt, eine wundersame Aufhebung. Diese Integrale sind „nur“ Schnittzahlen, also „Hurra! wir können eine exakte Berechnung in der ursprünglichen physikalischen Theorie machen!'. Meistens sind diese Korrelationsfunktionen 'geschützt', wie BPS-Invarianten; eine gewisse Symmetrie macht ihr Verhalten sehr regelmäßig.

In den Details der Lokalisierung zeigt sich eine Menge interessanter Mathematik. Beispielsweise tauchen Indextheoreme auf, wenn Sie Fermion-Null-Modi zählen, um die Dimension des lokalisierten Raums herauszufinden.

Alle Beispiele von Marek sind gut. (Ich musste aus Platzgründen für Kommentare eine neue Antwort schreiben.) Instantons sind wahrscheinlich der beste Ort, um diese Beziehung zu untersuchen. Maxwells Gleichungen im Vakuum lauten dF = 0 und d*F = 0, wobei F der Feldstärketensor ist. Die Ladung eines Teilchens (nach dem Gesetz von Gauß) kann durch Berechnung des Integrals von *F auf einer umgebenden Kugel erhalten werden, während die magnetische Ladung (immer Null, da wir magnetische Monopole noch nicht zuverlässig beobachtet haben) das Integral von F ist Wenn Sie nun algebraische Topologie studieren, ist F die Chern-Form der Verbindung, die durch das Eichfeld (Vektorpotential) definiert ist, nämlich die erste Chern-Klasse dieses Bündels. Dies ist das Paradebeispiel dafür, wie eine charakteristische Klasse – die den topologischen Typ des Bündels misst – in der Physik als Quantenzahl erscheint,

Tatsächlich werden wir in der Quantenfeldtheorie angewiesen, über ALLE Verbindungen zu integrieren, einschließlich derjenigen für verschiedene topologische Arten von Bündeln – also hat der Konfigurationsraum verschiedene Komponenten. Die minimalen (euklidischen) Energiekonfigurationen in diesen verschiedenen Komponenten werden "Instantonen" genannt.

Es gibt viele andere Beispiele, die leicht exotische Theorien der Physik beinhalten.

Ich suche nach ähnlichen Beispielen. Die angeführten Beispiele sind gut – ich möchte nur noch eines hinzufügen, das ich kürzlich entdeckt habe: Topologische Isolatoren

Die folgenden drei physical.stackexchange-Artikel:

(1) Abgleich von topologischen Isolatoren und topologischer Ordnung

(2) Gruppenkohomologie und topologische Feldtheorien

(3) Bringen Kategorientheorie und/oder Quantenlogik einen Mehrwert in der Physik?

enthalten Beispiele für Anwendungen der algebraischen Topologie in der Physik.

Die Twistor-Theorie verwendet die Garbenkohomologie, siehe z . B. Gentle Introduction to Twistors .

Und die Twistor-Theorie selbst hat Anwendungen in der Störungsquantenfeldtheorie (MHV-Amplituden).