Apollo-Missionen - Reisezeit zum Mond [Duplikat]

Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit in einer bestimmten Höhe (normalerweise der Oberfläche), die ausreicht, um den Einflussbereich des Körpers mit einer positiven Nettogeschwindigkeit zu verlassen. Aber wenn Sie einen Körper genau mit Fluchtgeschwindigkeit verlassen, nimmt Ihre Geschwindigkeit ab, wenn Sie im Austausch für den Gewinn potenzieller Gravitationsenergie aufsteigen, und Ihre Geschwindigkeit tendiert bei ausreichend großen Entfernungen zur Grenze von Null. (Das ist Dein$V_{inf}$ist 0.)

Apollo verließ nicht mit Fluchtgeschwindigkeit. Vielmehr gab die transmondale Injektion eine beträchtliche zusätzliche Geschwindigkeit, um die Reise viel schneller zu machen, sodass die niedrigste Geschwindigkeit einige Zehntausend Meilen vor dem Mond erreicht wurde (wo die Schwerkraft von Mond und Erde gleich ist). , in den niedrigen Tausenden von Meilen pro Stunde.

Lassen Sie uns ausgehend von Nathans Antwort etwas rechnen. Der Einfachheit halber nehmen wir hier an, dass wir nicht wirklich zum Mond fliegen, sondern dass nur die Schwerkraft der Erde relevant ist.

Wir starten mit Fluchtgeschwindigkeit, 25.000 Meilen pro Stunde, aus einer Höhe von 4000 Meilen über dem Erdmittelpunkt und steigen direkt nach oben. Während wir dies tun, nimmt unsere Geschwindigkeit gegen die Schwerkraft der Erde ab, bleibt aber an die Fluchtgeschwindigkeit in dieser Höhe über dem Erdmittelpunkt angepasst. In einer Höhe von 6250 Meilen (2250 Meilen über der Erdoberfläche) hat die Schwerkraft der Erde die Rakete auf 20.000 Meilen pro Stunde abgebremst, was die Fluchtgeschwindigkeit in dieser Höhe ist.

Die Fluchtgeschwindigkeit ist proportional zu der$-1/2$Potenz der Höhe über dem Zentrum, und für 25.000 Meilen pro Stunde bei 4000 Meilen ist die Proportionalitätskonstante (auf drei signifikante Stellen)$1.58×10^6$(Meilen)$^{3/2}$/Std. Um also mit Fluchtgeschwindigkeit aus einer Höhe von 4000 Meilen auf 250.000 Meilen zu kommen, brauchen wir so viel Zeit:

$\int_{4000}^{240000} \dfrac{dz}{1.58×10^6z^{-1/2}}=49.5\text{ hr}$

Das ist ungefähr richtig, übersieht aber, dass wir in der Höhe des Mondes immer noch mehrere tausend Meilen pro Stunde nach oben fliegen würden und die Schwerkraft des Mondes nicht stark genug gewesen wäre, um uns bei dieser Geschwindigkeit aufzufangen. Nathan weist zu Recht darauf hin, dass wir langsamer als die Fluchtgeschwindigkeit losgefahren sind, damit der Mond, der immer noch an die Erde gebunden ist, uns einholen konnte. Daher der zusätzliche Tag. In ähnlicher Weise mussten wir beim Start vom Mond langsam genug fliegen, damit die Erde uns hineinziehen konnte, anstatt uns wie eine Schleuder abzuschießen; Technisch vom Mond zu sprengen war auch nicht seiner Fluchtgeschwindigkeit gewachsen.

Der Grund, warum Apollo-Missionen so lange Transitzeiten zwischen Erde und Mond hatten, lag also letztendlich nicht an der Begrenzung der Raketenleistung, sondern an den Grenzen der Schwerkraft, innerhalb derer eine Mondmission funktionieren muss.

Wie bereits in anderen Antworten erläutert, wird im Wesentlichen die gesamte Strecke durch nicht angetriebenen Flug zurückgelegt - wenn Sie unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft an Höhe gewinnen, nimmt die "Aufwärts" -Geschwindigkeit allmählich ab. Bei LEO-Entfernung ist dies etwa 10 m/s ^–2 , obwohl diese Gravitationsbeschleunigung mit dem Quadrat der Entfernung abfällt.

Dies ist eine gute Sache, da das Fahrzeug den Mond mit einer Geschwindigkeit erreichen möchte, die die geringste Anpassung (geringster Treibstoff) erfordert, um in die Mondumlaufbahn zu gelangen - der Mond umkreist die Erde mit etwa 1 km / s (runde Zahlen) und einer Umlaufbahn in geringer Höhe um den Mond herum benötigt man eine Geschwindigkeit von etwa 1,6 km/s. Um in einer rückläufigen Umlaufbahn anzukommen, muss das Fahrzeug im Wesentlichen auf der anderen Seite des Mondes mit einer Radialgeschwindigkeit von Null und etwa 600 m / s rückläufig zur Erde landen. Um dies zu erreichen, ist es gut, dass die Radialgeschwindigkeit von der Erde weg aufgrund der Schwerkraft fast auf dem gesamten Weg nach draußen verloren geht, aber das bedeutet, dass die Reise viel länger dauern wird als die 9 Stunden, die durch einfache Arithmetik vorgeschlagen werden.

Hinzu kommt, dass der Weg von der Erde zum Mond nicht geradlinig zurückgelegt wird. Die Abfahrt von LEO ist im Wesentlichen tangential zur Erdoberfläche; Die Schwerkraft der Erde zieht die Flugbahn in eine Kurve. Die niedrigste Energieübertragung tritt auf, wenn das Fahrzeug darauf abzielt, rückläufig in die Mondumlaufbahn einzudringen (wie ich bereits erwähnt habe), sodass der Gesamtpfad tatsächlich etwas S-förmig ist, wodurch der Gesamtpfad etwas länger wird.