Arbeitsaufwand: Klarstellungen

Ihre Frage enthält einige versteckte Annahmen. Zum Beispiel könnte ich das Objekt ohne jegliche Kraftanwendung „anheben“ – wenn das Objekt bereits eine anfängliche Aufwärtsgeschwindigkeit hat. Natürlich könnte man sagen „das habe ich nicht mit ‚heben‘ gemeint“, aber das zeigt die Notwendigkeit, Fragen und Aussagen so klar wie möglich zu stellen.

Wenn wir von „Arbeit“ sprechen, müssen wir angeben, (1) welche Kraft die Arbeit verrichtet, (2) in welchem ​​Bezugsrahmen die Arbeit gemessen wird. Tatsächlich können zwei Beobachter in zwei verschiedenen Rahmen derselben Kraft unterschiedliche Werke zuordnen, weil sie unterschiedliche Geschwindigkeiten messen. Zum Beispiel kann das Objekt in Bezug auf einen Beobachter in Ruhe sein, also verrichtet keine Kraft irgendeine Arbeit für diesen Beobachter. (Beachten Sie, dass sich alle Beobachter, träge und nicht träge, auf die Werte der Kräfte einigen: Kräfte sind rahmeninvariante Größen.)

Die während eines Zeitintervalls an einem punktförmigen Objekt verrichtete Arbeit$[t_0,t_1]$durch die Kraft$\pmb{F}(t)$in einem Bezugssystem, in dem das Objekt Geschwindigkeit hat$\pmb{v}(t)$Ist

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit nicht nur durch die Kraft bestimmt wird$\pmb{F}$, sondern durch alle Kräfte, die während des Zeitintervalls auf das Objekt einwirken, und durch die anfänglichen kinematischen Bedingungen, wie z. B. die Anfangsgeschwindigkeit.

Nach den Newtonschen Gesetzen die Summe der Kräfte$\pmb{F}^{(1)}, \pmb{F}^{(2)}, \dotsc$Die Wirkung auf das Objekt muss in einem Trägheitsrahmen (wie etwa dem am Boden befestigten) der Änderungsrate des Impulses in diesem Rahmen entsprechen:

Angenommen, das Objekt verliert oder gewinnt keine Masse, wenn wir diese Gleichung skalar multiplizieren mit$\pmb{v}$und Zeitintegration dazwischen$t_0$Und$t_1$wir finden

Für die Gravitationskraft$\pmb{F}^{(\text{grav})} := -m\pmb{g}$(mit$\pmb{g}$nach oben gerichtet) finden wir auch durch einfache Integration das$\int_{t_0}^{t_1} \pmb{F}^{(\text{grav})}(t)\cdot \pmb{v}(t)\ \mathrm{d}t = -mgh$, Wo$h$ist die vertikale Komponente der Gesamtverschiebung des Objekts, die nach oben als positiv betrachtet wird. Wir können noch einmal anmerken, dass diese Verschiebung beobachterabhängig ist: Wenn wir eine Kamera auf dem angehobenen Objekt fixieren, dann bewegt sich das Objekt in Bezug auf die Kamera nicht, also nicht$h=0$im Bezugsrahmen der Kamera, und die Gravitationskraft hat in diesem Rahmen keine Arbeit geleistet.

Nehmen wir nun an, dass das Objekt zeitweise in Ruhe (im Inertialsystem des Bodens) ist$t_0$Und$t_1$; Das ist wahrscheinlich in der Idee des "Hebens" enthalten. Dann ist die linke Seite der obigen Gleichung Null. Also muss auch die rechte Seite Null sein. Wenn die auf das Objekt einwirkenden Kräfte die Schwerkraft sind und nur eine andere, dann haben wir aus den bisherigen Ergebnissen, dass die von der anderen Kraft während dieses Intervalls in diesem Rahmen verrichtete Arbeit sein muss$+mgh$.

Wenn wir die Schwerkraft und zwei andere Kräfte haben, die auf das Objekt einwirken, haben wir, dass die gesamte Arbeit von den beiden zusätzlichen Kräften zusammengenommen werden muss$+mgh$. Aber jede Kraft kann eine davon verschiedene Arbeit geleistet haben. Und so weiter für mehr Kräfte.

Es gibt viele gute Bücher zu solchen Themen. Zum Beispiel Synge & Griffith's Principles of Mechanics oder Love's Theoretical Mechanics oder Truesdell's A First Course in Rational Continuum Mechanics , das alle diese Themen mit großer Tiefe und logischer Sorgfalt behandelt.

Es ist nicht wirklich. Was Sie sagen, ist, wenn am Endpunkt, kinetische Energie$\mathcal K$der Masse ist Null. Wir stellen uns vor, dass das Experiment so sanft durchgeführt wird. Wenn die auf das Objekt ausgeübte Kraft größer ist als$mg$, also hätte es eine Beschleunigung und die Geschwindigkeit wäre am Ende nicht null. Also die zusätzliche Energie (zusätzliche geleistete Arbeit, meine ich$F\cdot d-mgh$) ist die kinetische Energie.

mgh ist die Arbeit, die gegen die Schwerkraft verrichtet wird, um das Objekt auf die Höhe h zu heben. Wenn Sie während des gesamten Prozesses eine Kraft > mg anwenden, hat das Objekt eine gewisse kinetische Energie K, wenn es sich in Höhe h befindet, und seine Gesamtenergie ist mgh + K. Die gegen die Schwerkraft geleistete Arbeit ist mgh.

Wenn Sie möchten, dass das Objekt in der Höhe h ruht, wenden Sie zuerst eine Aufwärtskraft > mg an, um das Objekt nach oben zu bewegen. Wenn es sich dann der Höhe h nähert, wird das Zusammenspiel zwischen Ihrer aufgebrachten Kraft und der Schwerkraft etwas kompliziert, da die Schwerkraft verwendet werden muss, um das Objekt zu verlangsamen, aber nicht so sehr, dass es beginnt, sich nach unten zu bewegen. Für einige Zeit reduzieren Sie also Ihre aufgebrachte Kraft, sodass eine Nettokraft nach unten entsteht, aber am Ende entspricht Ihre aufgebrachte Kraft der Schwerkraft bei ruhendem Objekt. Im Integral der Kraft über den Abstand h gibt es also Perioden, in denen Ihre aufgebrachte Kraft > mg ist, und Perioden, in denen sie < mg ist. Was auch immer die Details des Prozesses sind, Sie haben gegen die Schwerkraft gearbeitet.