Auf welche Weise nimmt der Impuls eines Teilchens mit Masse aufgrund der räumlichen Ausdehnung ab?

Sowohl die Eigen- als auch die Mitbewegungsgeschwindigkeit gehen gegen Null, jedoch mit unterschiedlichen Raten. Um zu sehen, wie dies funktioniert, beginnen Sie mit der Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik :

$$[g_{\mu\nu}] = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a^2(t) & 0 & 0\\ 0 & 0 & -a^2(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a^2(t) \end{array}\right].$$ Diese Metrik fließt in das Prinzip der kleinsten Wirkung für ein klassisches massives Teilchen ein: $$\begin{align} S &\propto \int \operatorname{d}\tau \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{\partial x^\mu}{\partial \tau} \frac{\partial x^\nu}{\partial \tau} } \\ &= \int \operatorname{d}t\, \left(-mc \sqrt{c^2 - a^2 \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} }\right). \end{align}$$ Wo $x^\mu$ist die mitbewegte (Koordinaten-) Position. Der Integrand in der zweiten Zeile ist der Lagrange-Operator ( $L$), also ist der kanonische Impuls gegeben durch: $$\begin{align} p_i & \equiv \frac{\partial L}{\partial x_j} \\ & = mc \frac{a^2 \frac{\operatorname{d} x_j}{\operatorname{d} t}}{\sqrt{c^2 - a^2 \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} }}. \end{align}$$ Umkehrung dieser Beziehung ergibt: $$\frac{\operatorname{d} x_j}{\operatorname{d} t} = c \frac{p_j}{a \sqrt{p_i p_i + (mc)^2 a^2}},$$ führt zum Hamiltonoperator: $$\begin{align} H &\equiv p_i \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d} t} - L \\ & = c \frac{p_j p_j}{a \sqrt{p_i p_i + (mc)^2 a^2}} + \frac{a m^2 c^3}{\sqrt{ p_i p_i + (mc)^2 a^2}} \\ & = c \sqrt{ \frac{p_i p_i}{a^2} + (mc)^2 }. \end{align}$$

Beachten Sie, dass in diesem Fall der kanonische Impuls die erhaltene Größe ist, da die Lagrange-Funktion unter Verschiebungen in der mitbewegten Koordinate unveränderlich ist. Somit ist für relativistische Teilchen die Mitnahmegeschwindigkeit$\propto a^{-1}$für relativistische Teilchen ($p \gg mc a$), Und$a^{-2}$für nichtrelativistische ($p \ll mca$). Ja, sogar Licht hat in einem FLRW-Koordinatensystem eine abnehmende Mitbewegungsgeschwindigkeit.

Erinnern Sie sich daran, um es wieder in die physikalische/richtige Geschwindigkeit zu übersetzen$\vec{v}_p = a \frac{\operatorname{d} \vec{x}_{\mathrm{coord}}}{\operatorname{d} t}$, was bedeutet, dass für nichtrelativistische Teilchen die physikalische Geschwindigkeit wie folgt abfällt$a^{-1}$, und für ultrarelativistische Teilchen ist die Geschwindigkeit gegeben durch$\approx c \hat{p} \left(1 - \left[\frac{mca}{p}\right]^2 + \ldots\right)$. Damit ist die physikalische Lichtgeschwindigkeit mit$m=0$, ist fest, während er bei massiven Partikeln abfällt.

Wenn Sie außerdem den physikalischen Impuls auf die übliche Weise für die spezielle Relativitätstheorie definieren,

$$\vec{p}_p \equiv \frac{m \vec{v}_p}{ \sqrt{1 - \left(\frac{v_p}{c}\right)^2}},$$ dann hängt der physikalische Impuls mit dem kanonischen Koordinatenimpuls zusammen als: $$\vec{p}_p = \frac{\vec{p}}{a},$$ Dies ist die Umkehrung der Beziehung zwischen Koordinate und physikalischer Geschwindigkeit, behält jedoch den fallenden physikalischen Impuls bei, der von der fallenden physikalischen Geschwindigkeit erwartet wird.

Beachten Sie auch, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, wie von der Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion erwartet. Beachten Sie, wie:

$$\vec{L} = \vec{r}_p \times \vec{p}_p = \vec{x} \times \vec{p},$$ die Skalierungsfaktoren im physikalischen Impuls und Ort heben sich auf, was die gleiche Beziehung in der Koordinatenposition und im kanonischen Koordinatenimpuls ergibt.

Sie könnten die gleichen Schlussfolgerungen aus der Quantenfeldtheorie ziehen, wenn Sie sorgfältig darauf achten, wo sich alle Skalenfaktoren in der Lagrange-Funktion befinden. Beginnen Sie beispielsweise mit der Aktion:

$$S = \int \sqrt{-g}\operatorname{d}^4 x \left[\frac{g^{\mu\nu}}{2} \partial_\mu\phi \partial_\nu \phi - m^2 \phi^2\right],$$ mit der metrischen Signatur $(+,-,-,-)$, und untersuchen Sie die Dispersionsbeziehungen für die Wellen, einschließlich der Entwicklung der physikalischen vs. Koordinatenwellenzahl usw. Sie werden feststellen, dass dies mit dem klassischen massiven Bild oben übereinstimmt, wie es nach dem Korrespondenzprinzip sein muss.

Ich stimme Ihrer Schlussfolgerung zu. Ein Beispiel hilft, dies zu verstehen.

Ein Gewehr, das an der Erde verankert und auf Sie gerichtet ist, wird abgefeuert. Das Geschoss mit der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf Sie zu, mit einem Impuls von p = mv. In diesem Fall ist es klar, dass v sich auf Sie bezieht, weil Sie und das Gewehr stationär sind.

Im nächsten Szenario bewegt sich das Gewehr mit der vollen Geschwindigkeit des Geschosses aus dem vorherigen Fall zurück (v), sodass die Geschwindigkeit des Geschosses jetzt 0 wäre, sodass der Impuls des Geschosses in Bezug auf Sie ebenfalls 0 ist.

Damit wird deutlich, dass der Impuls p umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit ist, mit der sich das Gewehr von der Kugel und Ihnen „entfernt“.

In Ihrem speziellen Fall ist das "Gewehr" das Universum, und der Impuls eines Teilchens wäre umgekehrt proportional zum Skalierungsfaktor, da die Geschwindigkeit des Teilchens in Bezug auf das Universum umgekehrt proportional zum Skalierungsfaktor ist.