Begründung der logischen bedingten Wahrheitstabelle

Question

Begründung der logischen bedingten Wahrheitstabelle

Logik
Axiome
Mathematik
Diskrete Mathematik

Verrückter Physiker

Ich versuche, eine Intuition (ohh, die Ironie) über die logischen Wahrheitstabellen zu bekommen. Insbesondere betrachte ich die grundlegende Bedingung P->Qmit der folgenden Wahrheitstabelle:

P Q | P -> Q T T T F T T T F F F F T

Wie erhält man diese Wahrheitstabelle? Wenn es sich um ein Axiom handelt, was ist die Motivation hinter dieser besonderen Form?

Quasi

Die Idee ist die einzige Möglichkeit, die Sie widerlegen könnten "

p

$p$ impliziert

q

$q$ " soll zeigen, dass es möglich ist zu haben

p

$p$ wahr, ohne auch zu haben

q

$q$ WAHR. Wenn "

p

$p$ impliziert

q

$q$ "kann nicht als falsch gezeigt werden, wir erklären es für wahr (unschuldig, solange die Schuld nicht bewiesen ist).

Mauro ALLEGRANZA

Es ist eine Definition . Siehe Bedingung .

Mauro ALLEGRANZA

Siehe viele viele Beiträge; zB definieren-materiell-bedingt

Mauro ALLEGRANZA

Und hätten-wir-die-materielle-Bedingung-nicht-anders-definieren können .

Mauro ALLEGRANZA

Wir haben einige "natürliche" Erwartungen:

T \to T

$T \to T$ muss sein

T

$T$ Und

T \to F

$T \to F$ muss sein

F

$F$ . Aber auch:

p \to q

$p \to q$ muss gleichwertig sein

\neg q \to \neg p

$\lnot q \to \lnot p$ , und dies, mit

T \to T

$T \to T$ , braucht das

F \to F

$F \to F$ muss sein

T

$T$ .

Mauro ALLEGRANZA

Bleibt also der "ärgerliche" Fall:

F \to T

$F \to T$ . Zwei Möglichkeiten dafür: entweder

T

$T$ oder

F

$F$ . Sie können das leicht überprüfen, wenn wir uns dafür entscheiden

F

$F$ für

F \to T

$F \to T$ das Ergebnis ist (materielle) Gleichwertigkeit. Daher...

Andreas Blas

Die Idee im letzten Kommentar von @MauroALLEGRANZA kann breiter verwendet werden. Sobald Sie sich (wie in seinem vorherigen Kommentar) für die richtigen Werte entschieden haben

T \to T

$T\to T$ Und

T \to F

$T\to F$ , gibt es nur 4 mögliche Wahrheitstabellen (2 Optionen für jede der

F \to T

$F\to T$ Und

F \to F

$F\to F$ . Eine dieser Optionen macht

p \to q

$p\to q$ gleichwertig

p ⟺ q

$p\iff q$ (wie Mauro sagte); ein anderer macht es gleichbedeutend mit

p \land q

$p\land q$ , und ein Drittel macht es äquivalent zu

q

$q$ . Keine davon macht viel Sinn, also nur eine Option, die Standard-Wahrheitstabelle für

p \to q

$p\to q$ , Überreste.

Mauro ALLEGRANZA

All dies unter der grundlegenden "Annahme" der Wahrheitsfunktionalität . Wenn Sie immer noch unzufrieden sind mit der Art und Weise, wie math log den natürlichsprachlichen Gebrauch von "wenn ..., dann ..." auf das Konzeptiv abbildet

\to

$\to$ , können Sie diese Annahme ablehnen und es mit anderen Arten von Bedingungen versuchen . Eine neue Welt steht offen ... aber sobald Sie den "sicheren Hafen" der wahrheitsfunktionalen mathematischen Logik verlassen haben, müssen Sie sich natürlich den Problemen der Philosophie stellen.

Mauro ALLEGRANZA

Siehe zB Jonathan Bennett, A Philosophical Guide to Conditionals , Oxford (2003) und David Sanford, If P Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning , Routledge (1989).

James Lea

Eine Intuition für den "ärgerlichen Fall": Angenommen p -> q und r -> q. Angenommen p. Dann haben wir q. Was ist mit r? Kann es falsch sein? Betrachten Sie die Aussagen p := „es regnet“, r := „der Sprinkler ist an“ und q := „der Boden ist nass“. Es ist einfach, eine Welt zu haben, in der ~r, q und r -> q alle wahr sind.

Antworten (1)

Begründung der logischen bedingten Wahrheitstabelle

Die Idee ist die einzige Möglichkeit, die Sie widerlegen könnten " $p$ impliziert $q$ " soll zeigen, dass es möglich ist zu haben $p$ wahr, ohne auch zu haben $q$ WAHR. Wenn " $p$ impliziert $q$ "kann nicht als falsch gezeigt werden, wir erklären es für wahr (unschuldig, solange die Schuld nicht bewiesen ist).
Siehe viele viele Beiträge; zB definieren-materiell-bedingt
Und hätten-wir-die-materielle-Bedingung-nicht-anders-definieren können .
Wir haben einige "natürliche" Erwartungen: $T \to T$ muss sein $T$ Und $T \to F$ muss sein $F$ . Aber auch: $p \to q$ muss gleichwertig sein $\lnot q \to \lnot p$ , und dies, mit $T \to T$ , braucht das $F \to F$ muss sein $T$ .
Bleibt also der "ärgerliche" Fall: $F \to T$ . Zwei Möglichkeiten dafür: entweder $T$ oder $F$ . Sie können das leicht überprüfen, wenn wir uns dafür entscheiden $F$ für $F \to T$ das Ergebnis ist (materielle) Gleichwertigkeit. Daher...
Die Idee im letzten Kommentar von @MauroALLEGRANZA kann breiter verwendet werden. Sobald Sie sich (wie in seinem vorherigen Kommentar) für die richtigen Werte entschieden haben $T\to T$ Und $T\to F$ , gibt es nur 4 mögliche Wahrheitstabellen (2 Optionen für jede der $F\to T$ Und $F\to F$ . Eine dieser Optionen macht $p\to q$ gleichwertig $p\iff q$ (wie Mauro sagte); ein anderer macht es gleichbedeutend mit $p\land q$ , und ein Drittel macht es äquivalent zu $q$ . Keine davon macht viel Sinn, also nur eine Option, die Standard-Wahrheitstabelle für $p\to q$ , Überreste.
All dies unter der grundlegenden "Annahme" der Wahrheitsfunktionalität . Wenn Sie immer noch unzufrieden sind mit der Art und Weise, wie math log den natürlichsprachlichen Gebrauch von "wenn ..., dann ..." auf das Konzeptiv abbildet $\to$ , können Sie diese Annahme ablehnen und es mit anderen Arten von Bedingungen versuchen . Eine neue Welt steht offen ... aber sobald Sie den "sicheren Hafen" der wahrheitsfunktionalen mathematischen Logik verlassen haben, müssen Sie sich natürlich den Problemen der Philosophie stellen.
Siehe zB Jonathan Bennett, A Philosophical Guide to Conditionals , Oxford (2003) und David Sanford, If P Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning , Routledge (1989).
Eine Intuition für den "ärgerlichen Fall": Angenommen p -> q und r -> q. Angenommen p. Dann haben wir q. Was ist mit r? Kann es falsch sein? Betrachten Sie die Aussagen p := „es regnet“, r := „der Sprinkler ist an“ und q := „der Boden ist nass“. Es ist einfach, eine Welt zu haben, in der ~r, q und r -> q alle wahr sind.

Bram28 · Answer 1

Es wird seit langem diskutiert, ob der Konditional überhaupt wahrheitsfunktional ist (d. h.: der Wahrheitswert von ist). $P \to Q$ eine Funktion der Wahrheitswerte von $P$ Und $Q$ ?).

Aber wenn wir es so behandeln (das heißt: wenn wir eine der Wahrheitstabellen auswählen müssten), dann ist hier ein Argument dafür, die Wahrheitswerte so zu setzen, wie wir es tun.

Betrachten Sie Modus Ponens:

P \to Q

$P \rightarrow Q$

P

$P$

∴ Q

$\therefore Q$

Nun nehme an $P = T$ Und $Q = F$ . Wenn $T \rightarrow F$ eingestellt waren $T$ , dann wäre dieses Argument ungültig! Das wollen wir natürlich nicht. Also sollten wir uns setzen $T \rightarrow F = F$

Betrachten wir nun:

P \to P

$P \rightarrow P$

OK, klar wollen wir, dass dies eine Tautologie ist, egal was passiert $P$ heißt, und egal ob $P$ wahr oder falsch ist (Ja, auch wenn $P$ ein Widerspruch ist, sollte immer noch gelten 'Wenn P, dann P'!). OK, aber das bedeutet, dass wir nicht setzen können $T \rightarrow T$ Zu $F$ , für dann $P \rightarrow P$ wäre keine Tautologie, also legen wir fest $T \rightarrow T = T$ . Ebenso können wir nicht einstellen $F \rightarrow F$ Zu $F$ , also setzen wir $F \rightarrow F = T$ .

Schließlich wollen wir $\rightarrow$ 'asymmetrisch' oder nicht kommutativ sein: 'wenn P, dann Q' ist eindeutig etwas völlig anderes als 'wenn Q, dann P'. Aber da die anderen Wahrheitswerte bereits so gesetzt sind, wie sie sind, wenn wir setzen $F \rightarrow T$ Zu $F$ , dann würde es kommutativ werden! Also setzen wir $F \rightarrow T =T$ .

Kurz gesagt, das Festlegen der Wahrheitswerte, wie wir es tun, ist der einzige Weg, um sicherzustellen:

Es gilt der Modus Ponens
$P \rightarrow P$ ist eine Tautologie
$\to$ ist nicht kommutativ

Und um noch ein paar Argumente dafür zu haben, wie wir die Wahrheitswerte setzen, bedenken Sie:

P \to Q

$P \rightarrow Q$

Q

$Q$

∴ P

$\therefore P$

Dies sollte eindeutig ein ungültiges Argument sein, mit dem Gegenbeispiel von $P = F$ Und $Q = T$ . Aber wenn wir uns setzen würden $F \rightarrow T$ Zu $F$ , das wäre überhaupt kein Gegenbeispiel! Also stellen wir uns besser ein $F \rightarrow T = T$ .

Lassen Sie uns abschließend festhalten, dass wir Folgendes wollen:

P \to Q \Leftrightarrow \neg Q \to \neg P

$P \rightarrow Q \Leftrightarrow \neg Q \rightarrow \neg P$

Das bedeutet, dass $T \rightarrow T$ Und $F \rightarrow F$ besser den gleichen Wahrheitswert haben. Also, sobald Sie überzeugt sind, dass einer von ihnen sein sollte $T$ , dann sollte diese Kontrapositionsäquivalenz Sie davon überzeugen, dass das andere sein sollte $T$ sowie.

Ich habe meine Ablehnung rückgängig gemacht, aber ich denke, die obigen Links und jede Suche auf MSE, die Logik, materielle Bedingung und logische Implikationen verwendet, hat dieses Thema lange zuvor zu Tode geprügelt. Das ist nicht falsch, aber auch nicht ganz richtig.

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Bram28

binWarum

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