Finden Sie die Konsistenz der Systemspezifikationen

Es ist vollkommen in Ordnung, dass Ihr Satz von Sätzen konsistent ist, wenn Sie zwei verschiedene Modelle haben, die Ihren Satz von Sätzen (eine Theorie) erfüllen, da Konsistenz nichts mit der Eindeutigkeit des Modells zu tun hat, auf das hier verwiesen wird

eine konsistente Theorie ist eine, die nicht zu einem logischen Widerspruch führt. Die Widerspruchsfreiheit kann entweder semantisch oder syntaktisch definiert werden. Die semantische Definition besagt, dass eine Theorie konsistent ist, wenn sie ein Modell hat, dh es gibt eine Interpretation, unter der alle Formeln in der Theorie wahr sind.

Tatsächlich ist jede Menge tautologischer Sätze wie {$(p=p), (q=q), (r=r)$} kann für jeden Aussagesatz immer unterschiedliche Wahrheitswerte haben$p,q,r$konsequent bleiben.

Aber sehen Sie sich Ihren Satz von bestimmten Sätzen genauer an,$r$kann nur aus der Einschränkung Ihres letzten Satzes 4 wahr sein, da der Vordersatz Ihrer materiellen Bedingung dann wahr ist$r$muss stimmen...

Eine Menge von Sätzen ist konsistent genau dann, wenn ihre Konjunktion erfüllbar ist.

(Informell: Ein konsistentes System ist eines, dessen Prämissen/Axiome in einem Universum kohärent sind.)

In der Aussagenlogik ist ein inkonsistentes System also eines, dessen Konjunktion ein Widerspruch ist, dh dessen Konjunktion unabhängig von der Kombination der Wahrheitswerte seiner atomaren Aussagen falsch ist.

In Ihrer Übung ist das System also inkonsistent, iff

$$(1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4) \equiv\bot,$$ dh unabhängig von$(p,q,r)$der Wert,$(1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4)=$F,

dh jede Reihe von$(1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4)$Die Wahrheitstabelle hat eine falsche Hauptverbindung .

Denn das wichtigste Bindeglied$\to$in Ihrer vereinfachten Wahrheitstabelle von$(1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4)$dreimal wahr ist, ist Ihr System konsistent.

Damit ein System konsistent ist, muss es haben$\textbf{one}$Ergebnis, das stimmt,$T$. Damit ein System inkonsistent ist, würde es keine wahren Werte im Ergebnis geben, mit anderen Worten, es sind alles falsche Werte,$F$.

In Ihrem Beispiel sehen wir, dass wir haben$T$'s in der Spalte ganz rechts bedeutet dieses System$\textbf{is}$konsistent.

$$\begin{array}{c|c} p&¬p&r&¬r&¬p\to r\\ \hline \color{red}{\text{T}}&\color{red}{\text{F}}&\color{blue}{\text{T}}&\color{red}{\text{F}}&\color{red}{\text{T}}\\ \color{red}{\text{T}}&\color{red}{\text{F}}&\color{blue}{\text{F}}&\color{red}{\text{T}}&\color{red}{\text{T}}\\ \text{F}&\text{T}&\text{T}&\text{F}&\text{F}\\ \text{F}&\text{T}&\text{F}&\text{T}&\text{T} \end{array}$$

Hier ist ein Beispiel für ein konsistentes System:

$$\begin{array}{c|c} p & (p\land \lnot p) \\ \hline T & F \\ F &F \end{array}$$ Die Spalte ganz rechts ist immer$F$also ist dieses System inkonsistent.

Hinweis: Wenn die Spalte ganz rechts immer ist$T$, das heißt Tautologie.

Auch für diese Probleme würde ich für jedes eine Wahrheitstabelle erstellen. Sie werden nicht so viele Zeilen haben und es wäre leicht zu erkennen, ob das System konsistent ist oder nicht.