Benötigen Sie Hilfe beim Verständnis von ∃x∀y vs. ∀x∃y

Mein Verständnis ist, dass es für ∃x∀y nur einen x-Wert geben kann, der für jeden einzelnen y-Wert wahr ist. Das heißt, es gibt nur einen x-Wert (der nicht geändert werden kann) für jeden einzelnen unterschiedlichen y-Wert. Die Aussage ∃x∀y(p(x,y)) ist wahr, wenn es einen x-Wert (sagen wir x=0) gibt, der wahr ist für y=-2,-1,0,1,2,... (für jedes einzelne y). Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber dies ist mein Verständnis dieser Notation.

Und jetzt ist mein Verständnis für die zweite Notation ∀x∃y(p(x,y)) dass es für jeden x-Wert ein y gibt, so dass p(x,y). Das heißt für jeden x-Wert (x=-2,-1,0,1,2,...) kann es für jeden x-Wert einen anderen y-Wert geben, damit die Aussage wahr ist.

Ich weiß nicht wirklich, wie ich das gut erklären soll, aber ich werde versuchen, mein Verständnis zusammenzufassen. Wenn die Notation ∃x∀y ist, dann gibt es nur ein x, das nicht geändert werden kann, das für jedes y wahr ist. Wenn die Notation ∀x∃y ist, dann muss der y-Wert nicht für jeden x-Wert derselbe y-Wert sein. Das heißt, für jeden x-Wert kann es einen y-Wert geben, der sich von einem anderen y-Wert für einen anderen x-Wert unterscheidet.

Wenn meine Denkweise richtig ist, sagen Sie es bitte, andernfalls versuchen Sie bitte, mir zu helfen, dies zu verstehen.

Fast richtig : ∃ X bedeutet, dass es mindestens ein x gibt, nicht genau eins.
@amWarum nicht ∃ X ∀ j ( L ( X , j ) ) bedeutet, dass eine Person alle liebt, nicht, dass sie von allen geliebt wird?
Für jedes Schloss gibt es einen Schlüssel, aber es gibt keinen Schlüssel, der jedes Schloss öffnet.
Es wird klarer, wenn Sie ein Konzept namens universelles Eigentum kennen . Ihr erster gemischter Quantor hat eine so starke Eigenschaft wie eine wohlgeordnete endliche Menge mit einem Terminalobjekt, während letzteres dies nicht hat (wie das gemeinsame Infinit N ).
Anschauliche Beispiele: ∀x∃y: Jeder Mensch hat einen Vater. ∃x∀y: es gibt einen Vater aller Menschen.

Antworten (2)

Ihr Verständnis ist richtig, mit der folgenden Bemerkung.

Für ∃ X ∀ j : P ( X , j ) , deine Formulierung ist nicht konsistent. Manchmal sagt man „es kann nur einen geben“, aber in anderen Fällen „gibt es einen Wert“. Die Interpretation ist die zweite: Es gibt (mindestens) einen Wert für X so dass P ( X , j ) für alle j . Das gleiche X für alle j , Sie haben Recht und das ist der entscheidende Teil, aber es ist möglich, dass es einen gibt X ' ≠ X so das auch P ( X ' , j ) für alle j .

Hat „∃x∀y“ eine andere Bedeutung als „∀y∃x“? D. h., wird die nachfolgende Quantifizierung als abhängiger Satz der vorangehenden behandelt? Oder würde diese Abhängigkeit mit einer mathematischen Interpunktion notiert? Und unterscheiden sich die Bedeutungen, wenn was?
Es sind unterschiedliche Bedeutungen. Die erste besagt, dass es ein x gibt, das mit jedem y funktioniert. Der zweite besagt, dass es für jedes y ein x gibt, mit dem es funktioniert, aber es muss nicht das GLEICHE x sein
Vielen Dank. Und ja, jetzt sehe ich das "es gibt mindestens einen".

Als Randnotiz, die (meistens Standard-) Notation für es gibt genau eine einzigartige Sache, ist das Hinzufügen eines ! zu deinem Modifikator ∃ ! X : P ( X ) bedeutet, dass es einen gibt, der einzigartig ist X das macht P wahr, zum Beispiel wenn P ( X ) war die Aussage X + 3 = 7 , es gibt tatsächlich genau einen Wert, der es wahr macht, X = 4 .

Das können wir ∃ ! mit der bestehenden Notation ist es nur eine Kurzschreibweise für

( ∃ X ) : [ P ( X ) ∧ ( ∀ j ) : P ( j ) ⟹ X = j ]

Ohne das ! Sie erhalten mindestens eine.

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