Wie kann ich beweisen, dass die beiden folgenden Definitionen des Eindeutigkeitsquantors in der Logik erster Ordnung äquivalent sind?

Ich weiß bereits, dass die zweite Definition der Eindeutigkeit die erste impliziert, denn wenn das Prädikat für alle Werte von z gilt, dann gilt es auch nur für die Werte von z, für die z = x ist, was uns ein Prädikat hinterlassen würde was der ersten Definition entspricht. Aber wie beweise ich, dass die erste Definition von Einzigartigkeit auch die zweite impliziert?

Es ist im Grunde die gleiche Argumentation. Da eine universelle Aussage (Form von$\forall y~Q(y)$) kann auf beliebige Variablen mit beliebigem Buchstaben eliminiert werden (dh: nicht nur$y$, aber auch$z$).

Also willkürlich nehmen$y$und willkürlich$z$und ableiten$~P(y)\land P(z) \to y=z~$durch$~P(y)\to y=x~$Und$~P(z)\to z=x~$und Gleichheitsbeseitigung .

Zunächst einmal denke ich, dass es einfacher sein kann, sich Ihr Problem in Form von zwei äquivalenten Formeln für das Prädikat vorzustellen$P$anstelle von zwei äquivalenten Definitionen, das heißt, diese Äquivalenz zu berücksichtigen:

$$\exists u (P(u) \land \forall v (P(v) \Rightarrow v = u)) \Leftrightarrow \exists x P(x) \land \forall y \forall z (P(y) \land P(z) \Rightarrow y = z)$$ Beachten Sie, dass ich auch die Variablennamen geändert habe, damit sie alle eindeutig sind. Es kann helfen, Verwirrung während des Beweises zu vermeiden.

$\Rightarrow$Richtung

Wir wissen, dass es existiert$u$so dass$P(u)$(1) und$\forall v(P(v) \Rightarrow v = u)$(2). Jetzt nimm$x = u$und wir können daraus schließen$\exists x P(x)$. Betrachten Sie nun willkürlich$y$Und$z$so dass$P(y)$Und$P(z)$halten. Wir können (2) anwenden, um abzuleiten$y = u$Und$z = u$. Unter Verwendung der Gleichheitseigenschaften erhalten wir$y = z$, was den Beweis der rechten Seite vervollständigt.

$\Leftarrow$Richtung

Wir wissen$\exists x P(x)$(3) und$\forall y \forall z (P(y) \land P(z) \Rightarrow y = z)$. Wir können nehmen$x = u$und schließen$P(u)$aus (3). Betrachten Sie nun eine beliebige$v$so dass$P(v)$. Wir können (4) weiter anwenden$y = v$Und$z = u$erhalten$v = u$und ergänze den Beweis.

Diskussion

Beachten Sie, dass wir die Gleichheit durch ein beliebiges binäres Prädikat ersetzen$Q$, Die$\Leftarrow$wird immer noch funktionieren, aber die$\Rightarrow$Richtung braucht$Q(y, u) \land Q(z, u) \Rightarrow Q(y, z)$für den letzten Schritt. In gewissem Sinne ist die zweite Definition stärker, weil sie die erste impliziert, ohne sich darauf zu verlassen, was Gleichheit als binäre Beziehung ist.

Sie wollen im Wesentlichen die Ableitung von

$$\exists x\;\Big(Px\wedge\forall y\forall z\;\big( Py\wedge Pz \to y=z\big)\Big)$$ aus $$\exists x\;\Big(Px\wedge\forall y\;\big(Py\to y=x\big)\Big).$$

Hier ist ein Beweis, der das Beweissystem unter https://proofs.openlogicproject.org/ mit zusätzlichen Inferenzregeln Equality Introduction and Substitution verwendet:

Verwendung einer Form des natürlichen Abzugs (Screenshot von meinem Beweisprüfer):