Verwechslung zwischen For Each und For All in verschachtelten Quantoren

Question

Verwechslung zwischen For Each und For All in verschachtelten Quantoren

Logik
Mathematik
Quantifizierer
Diskrete Mathematik

foobar512

Ich werde gebeten, Folgendes ins Englische zu übersetzen:

\exists X \forall j \forall z ((F (X, j) \land F (X, z) \land (j \neq z) ⟹ \neg F (j, z))

$\exists x \forall y \forall z\left((F(x,y) \wedge F(x,z) \wedge (y \neq z) \implies \neg F(y,z)\right)$

Die Lösung sagt:

Dieser Ausdruck sagt, dass wenn Studenten $x$ Und $y$ sind Freunde und Studenten $x$ Und $z$ Freunde sind, und außerdem, wenn $y$ Und $z$ sind also nicht derselbe Schüler $y$ Und $z$ sind keine Freunde.

Aber ich verstehe nicht warum $x$ Und $y$ sind für alle und keine existentiellen Quantoren. Weil es nicht heißt, dass es einen Schüler gibt, der mit allen Schülern befreundet ist – nur für einen.

Antworten (2)

Verwechslung zwischen For Each und For All in verschachtelten Quantoren

Alexis Olson · Answer 1

Ich würde es wie folgt übersetzen, da die von Ihnen zitierte Lösung die Quantoren nicht sehr explizit behandelt:

Es gibt einen Studenten $x$ so dass für jede Wahl von Studenten $y$ Und $z$ , Wo $y$ Und $z$ sind verschieden, wenn $x$ ist mit beiden befreundet $y$ Und $z$ , Dann $y$ Und $z$ sind keine Freunde.

Beachten Sie, dass dies nicht gesagt wird $x$ ist mit jedem befreundet $y$ Und $z$ , aber das, wenn $x$ ist also mit beiden befreundet $y$ Und $z$ sind keine Freunde.

Warum dann nicht den existenziellen Quantor verwenden, wenn es sich um eine Person handelt?
Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Ich habe "es existiert" für verwendet $x$ .
Das wäre eine andere Aussage. Die aktuelle Rechnung garantiert, dass für jede Wahl zwei Freunde von $x$ , sie sind keine gemeinsamen Freunde. Wenn Sie "es existiert" für verwendet haben $y$ Und $z$ , würden wir nur wissen, dass dies für ein bestimmtes Paar gilt.
@Blakeasd In der Tat, und tatsächlich garantiert die gegebene Aussage den Schüler nicht $x$ ist überhaupt mit niemandem befreundet. Es heißt: "Es gibt einen Studenten, der, wenn er mehr als einen Freund hätte, diese nicht miteinander befreundet wären."

LoMaPh · Answer 2

Angesichts dessen $F(x,y)$ steht für " $x$ Und $y$ sind Freunde" und $St(x)$ steht für " $x$ ist ein Student", ist die angegebene Lösung die Übersetzung der folgenden Formel:

$\forall x \forall y \forall z [St(x)\land St(y)\land St(z)\land F(x,y)\land F(x,z)\land y\neq z \rightarrow \neg F(y,z)]$

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