Was bedeuten diese Prädikatenaussagen erster Ordnung?

Eine Aussage nach der anderen.

Erste Aussage

$\forall x(\text{Girl}(x)\to \exists y(\text{Boy}(y)\land \text{Likes}(y,x))$

Statement 1. If every x satisfies "girl", then some y satisfy "boy" and those particular instances of y like all instances of x.

Das ist falsch. Was Sie geschrieben haben, würde durch so etwas wie modelliert werden

$$\underbrace{\forall x\text{Girl}(x)\to}_{\text{If every }x{ \text{ satisfies "girl"}}} \text{Something},$$ genauer gesagt würde es modelliert werden $$\forall x\text{Girl}(x)\to \exists y(\text{Boy}(y)\land \underbrace{\color{blue}{\forall x\text{Likes}(y,x)}}_{y\text{ likes all instances of }x})$$ und das ist überhaupt nicht das, was Sie wollen, noch ist es äquivalent (der universelle Quantor vorbei $x$verteilt sich nicht $\to$). Ich habe festgestellt, dass Sie den in allen Aussagen blau markierten Fehler gemacht haben, also werde ich ihn nicht noch einmal erwähnen.

Im Klartext könnte die erste Aussage lauten: „Für jedes Mädchen gibt es einen Jungen, der sie mag“ oder vielleicht „Jedes Mädchen hat einen Jungen, der sie mag“. Ich bin mit dem zweiten nicht ganz zufrieden, weil "hat" irgendwie Eigentum impliziert, aber ich bin mir nicht sicher.

Dann behauptest du das "statement 1 says that there should be some "boy" at least". Das ist nicht richtig, bestenfalls würde die Aussage implizieren, dass es einen Jungen gibt, was nicht dasselbe ist wie zu sagen, dass es einen Jungen gibt. Das ist wahrscheinlich falsch, es hängt von dem Universum ab, das Sie in Betracht ziehen. In einem Universum mit nur Jungen ist die Aussage wahr. Unter der Annahme, dass das Universum die Menschen der Erde sind, glaube ich nicht, dass Ihnen irgendjemand den Wahrheitswert dieser Aussage sagen kann.

Zweite Aussage

$\forall x(\text{Girl}(x) \land \exists y(\text{Boy}(y)\to \text{Likes}(y,x)))$

"Statement 2. Every x satisfies "girl" and there exists some y which if satisfies "boy" likes all instances of x."

Was Sie geschrieben haben, würde modelliert werden$\forall x\text{Girl}(x)\land \exists y(\text{Boy}(y)\to\forall x\text{Likes}(y,x))$oder$\forall x(\text{Girl}(x)\land \exists y(\text{Boy}(y)\to \forall x\text{Likes}(y,x)))$, je nach Auslegung. Es spielt keine Rolle, welches es ist, weil sie in den meisten FOLs äquivalent sind und beide falsch sind, wie in der Analyse der ersten Aussage erwähnt.

Richtig wäre: "Wenn eine Person gegeben ist, ist diese Person ein Mädchen, und es gibt jemanden, der, wenn es zufällig ein Junge ist, der letztere den ersteren mag". Ich konnte keine natürlich klingendere Art finden, diese Aussage auf Englisch zu formulieren, und ich glaube nicht, dass eine 100% korrekte Übersetzung in natürlich klingendes Englisch gebracht werden kann.

"Statement 2 says that "everything is girl"- Nochmals, das ist nicht das, was es sagt, obwohl es das nicht impliziert.

"Another easier way of interpreting statement 2 could be that universal quantifier is distributive over conjunction, so the statement roughly becomes "everything is girl and if "boy" exists, then it likes everything." This also implies a overlap between "girl" and "boy". And if overlap is not allowed then it would become "everything is girl, "boy" can't exist."

Sehr gute Analyse, bis auf den Teil, in dem der Junge alles mag, was unter der Annahme erfolgt, dass Ihre Übersetzung korrekt ist, und es nicht an dem liegt, was bereits erwähnt wurde.

Auch hier hängt der Wahrheitswert vom Universum ab. In einem gesegneten Paradies, in dem es nur Mädchen gibt, wäre die Aussage wahr. Unter der Annahme, dass das Universum die Menschen der Erde sind, ist die Aussage falsch, weil es Jungen gibt.