Bei welchem ​​Neigungswinkel ist ein Läufer schneller als ein Radfahrer?

Wir können zumindest den Winkel berechnen, bei dem das Fahrrad nicht mehr vorankommt. Um eine nichtnegative vertikale Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten, muss die vom Radfahrer über das Hinterrad auf den Boden ausgeübte streckengemittelte Ausgangskraft gleich der Schwerkraft auf einer geneigten Ebene sein:

$\bar F_\text{out} = g(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$

Lassen$D$das Doppelte der Kurbellänge des Fahrradpedals sein, d. h. der doppelte Abstand vom Pedal zur Mitte des vorderen Gangs.

Lassen$L$sei die minimale Verschiebung des Rades entlang der Steigung pro halbe Kurbelumdrehung

$L = \frac{\pi}{2} \times \text {(Wheel diameter) (number of front teeth) / (number of rear teeth)}$

Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangskraft für das Fahrrad ist$R = \frac {\pi D}{2L} = F_\text{out}/F_\text{in}$

Also an der Stelle wo$\bar F_\text{in} = \frac{g}{R}(m_\text{man}+m_\text{bike})\sin(\theta)$die maximale Kraft überschreitet, die der Athlet auf das Pedal ausüben kann, ohne herunterzufallen (oder abzuspringen), kann der Radfahrer keine Fortschritte mehr machen. Dieser muss kleiner sein als$gm_\text{man}$, oder der Radfahrer springt ab.$^1$

$\theta_\text{max} \lt \arcsin\left(\frac{Rm_\text{man}}{m_\text{man}+m_\text{bike}}\right)$

Für einen Mann mit 70 kg und ein Fahrrad mit 10 kg, mit einem Minimum$L$von$25\pi$cm und a$D$von$34$cm geben$R = 0.68$, das gibt

$\theta_\text{max} \lt 37 ^\circ$

Dies ist eine wesentlich höhere Steigung, als ich es für möglich halte, mit dem Fahrrad hinaufzufahren, was wahrscheinlich die Tatsache widerspiegelt, dass es viel schwieriger ist, Ihr gesamtes Gewicht auf einem sich bewegenden Pedal eines langsam fahrenden Fahrrads zu balancieren, nur um nicht den Hügel hinunter zu rollen einfach absteigen und laufen. (Ganz zu schweigen davon, dass es langsamer ist und wahrscheinlich die Kette oder Kurbel beschädigt.)

Mit Superman und einem speziell konstruierten unzerstörbaren Fahrrad könnte jeder Winkel erreicht werden, da der Athlet hypothetisch am Fahrrad hochziehen könnte, um dem Herunterdrücken der Pedale entgegenzuwirken und sein eigenes Gewicht an Schubkraft weit zu überschreiten. Ein solcher Athlet wäre jedoch besser geeignet, den Hügel in einem einzigen Satz zu überspringen.

1: Ich bin davon ausgegangen, dass der Radfahrer (außer Superman und seinem Superbike) keine gute Möglichkeit hat, sich in normaler Fahrradhaltung auf dem Fahrrad hochzuziehen. Es kann möglich sein, mehr Kraft auf die Kurbel auszuüben, indem Sie mit dem anderen Fuß nach oben ziehen, wenn der Athlet an den Pedalen befestigt ist. Dies würde das Problem von einer Frage nach der maximalen Kraft zu einer Frage nach dem maximalen seitlichen Drehmoment verlagern, das aufgebracht werden kann, ohne das Fahrrad umzudrehen, was wiederum eine Frage ist, wie gut und wie weit sich der Athlet abwechselnd vor- und zurücklehnen kann, um das Gleichgewicht herzustellen . Ich denke, das bringt die Frage außerhalb der Reichweite eines First-Principles-Ansatzes.

Ein typischer Rennradreifen hat einen Umfang von knapp über 2 Metern. Ein wirklich niedriger Gang hat eine Übersetzung von 1, was bedeutet, dass ein Kreis der Pedale das Hinterrad nur 1 Mal dreht. Dies würde also bedeuten, dass das Drücken des rechten Fußes von 12 Uhr nach unten auf 6 Uhr und das Anheben wieder nach oben auf die 12-Uhr-Position das Fahrrad 2 Meter nach vorne bewegen würde. Das wäre also das Äquivalent von zwei vollen Schritten beim Laufen.

Wenn Sie einen steilen Hügel hinauflaufen, können Sie meines Erachtens nicht 1 Meter vorwärts für einen vollständigen Schritt erreichen. Der Grund dafür ist, dass mit zunehmender Steilheit Ihre Schritte kürzer werden. Auf flachem Land können Sie problemlos Schritte von mehr als 1 Meter machen, aber nicht einen Hügel hinauf.

Die Sache mit Rennrädern mit richtigen Pedalen ist, dass Sie sowohl beim Abwärtshub als auch beim Aufwärtshub Kraft haben. Tatsächlich hat ein guter Rennfahrer Kraft für die gesamten 360 Grad des Kreises. Das war ein sehr wichtiger Teil meines Trainings, als ich Rennen gefahren bin. Aber ein Läufer hat nur Kraft beim Abwärtsschlag; Der Aufwärtshub ist völlig vergeudete Zeit und Mühe.

Wenn wir also davon ausgehen, dass die Reifen auf dem Boden nicht rutschen, sehe ich keinen Punkt, an dem es schneller laufen würde. Ich weiß jedoch, dass bei Dirtbike-Rennen das Rutschen im Schlamm ein großes Problem ist, daher steigen sie oft ab und rennen (oder eher gehen) den Hügel hinauf.

Aus rein physikalischer Sicht denke ich also, Radfahren wäre immer schneller.

Ich denke jedoch, wenn Sie sich Flachlandrennen ansehen und das Rennen sehr kurz wäre, sagen wir 10 Meter, dann wäre das Laufen wahrscheinlich schneller als das Radfahren, da die Beschleunigung für den Radfahrer viel langsamer wäre, während der Läufer explodieren kann über 1 Meter pro Schritt sehr schnell.

Um Missverständnissen vorzubeugen: Auch wenn dieser Beitrag mit einer Zahl endet, versuche ich nur, auf der Rückseite eines Umschlags eine Basis zu schaffen. Alle konkreten Zahlen sind Vermutungen oder bequeme Zahlen (hey, 0,1 m/s!), die konkreten biomechanischen Annahmen sind lächerlich usw., aber ich bin überzeugt, dass ich das Wesentliche des Problems skizziert habe, falls jemand es konkretisieren möchte richtige Daten.

Um der Frage auf den Grund zu gehen, sollten wir zunächst das Offensichtliche feststellen: Die Geschwindigkeit (in einem anhaltenden Gleichgewicht, ohne Trägheitsbetrachtungen) kann den Zustand nicht überschreiten, in dem die maximale Leistung (Energie / Zeit), die die laufende oder radfahrende Person erzeugt, gleich dem Potenzialgewinn ist Energie plus die Reibungsverluste (innerlich, in den Muskeln etc., und äußerlich durch Luftwiderstand und Reibung von Fahrradlagern und Bodenkontakt). Höhere Geschwindigkeiten erhöhen immer die Reibung und die Rate, mit der die potentielle Energie wächst; Irgendwann ist keine Kraft mehr vorhanden, um die Geschwindigkeit zu erhöhen.

Aus diesen Grundprinzipien ergibt sich weder für das Radfahren noch für das Laufen ein Vorteil; beide arbeiten innerhalb dieser Beschränkung. Du kannst die Physik nicht schlagen.

Der verbleibende Teil der Antwort ist mehr Technik als reine Physik.

Zuerst müssen wir verstehen, warum ein Fahrrad in flachem Gelände schneller fahren kann als ein Läufer laufen kann, obwohl sie unter den gleichen körperlichen Einschränkungen arbeiten. Ich denke, dass der limitierende Faktor für einen Läufer die Hin- und Herbewegung der Beine ist. Die Beine haben sich so entwickelt, dass sie bei normaler Geh- und anhaltender Laufgeschwindigkeit effizient funktionieren, wenn die Schwerkraft einen Teil des Bewegungszyklus unterstützen kann. Für schnelles Laufen ist die Schwerkraft jedoch zu langsam. Die Beine müssen schneller hin und her gehen, als sie fallen würden, und ein Läufer muss Muskelkraft einsetzen, um die Trägheit der Beine zu überwinden und sie zunehmend aktiv zu beschleunigen. Während sich keine kinetische Energie ansammelt (die Beine durchlaufen immer wieder denselben Zyklus), erzeugen die Muskeln viel Reibung, was sich am Schweiß ablesen lässt, den wir benötigen, um die erzeugte Wärme abzuleiten.

Mit einer Back-of-the-Envelope-Rechnung können wir dafür eine Größenordnung erhalten. Nehmen wir an, ein Bein hat eine Masse von 20 kg und der Läufer fährt 36 km/h oder 10 ms/s. Das ist die Geschwindigkeit, die ihre Füße relativ zum Körper haben, wenn sie auf dem Boden stehen. Der Massenschwerpunkt des Beins, der Einfachheit halber auf halber Höhe angenommen, bewegt sich dann mit 5 m/s. Diese Geschwindigkeit muss innerhalb eines Viertelzyklus erreicht werden (halbe Beinbewegung nach vorne sowie nach hinten). Bei einer Schrittlänge von 1,5 m wird die Frequenz eines Zyklus, bestehend aus zwei Schritten, sein$\frac{10m/s}{2*1.5m} = 3 \frac{1}{3} Hz$; die Periode ist$T=0.3s$. Das Bein muss in einem Viertel davon (der ersten Hälfte eines halben Schrittes) beschleunigen, 0,075 Sekunden. Seine Beschleunigung ist daher$\frac{5m/s}{0.075s} \approx 67m/s^2$. Die resultierende Kraft auf das Bein ist${67m/s^2} * 20kg = 1333N$, entspricht 140 kg. (Das klingt ein bisschen viel – habe ich einen Rechen- oder Schätzfehler gemacht? Aber vielleicht ist es zusammen mit biomechanischen Vorteilen wie Elastizität, zyklischen Bewegungen usw. realistisch.)

Endeffekt:

Schnelles Laufen erfordert viel Muskelarbeit, nur um die Beine zu beschleunigen, wodurch viel Energie durch Wärme verloren geht.

Der limitierende Faktor beim Laufen ist die Mechanik unserer Beine und Muskeln, die begrenzen, wie schnell wir die Beine hin und her bewegen können.

Beim Radfahren wird diese Begrenzung durch Gangschaltungen umgangen: Wir können in höhere Gänge schalten, bis der Windwiderstand so groß ist, dass wir nicht mehr Beinkraft aufbringen können, um ihn zu überwinden, dann können wir nur noch durch schnelleres Treten schneller fahren, so dass wir „hineinlaufen“. das gleiche Problem wie der Läufer.

Stellen Sie sich zur Veranschaulichung vor, in einer Ebene in einem niedrigen Gang zu fahren, der das Treten mit der gleichen Frequenz erfordert, mit der ein Läufer seine Beine bewegt, sagen wir ein vollständiger Zyklus / 3 m. Ich würde annehmen, dass es schwierig ist, die Beine schneller als vielleicht 3 Hz zu bewegen, was sowohl für einen Läufer (Usain Bolt hat es 44 km/h geschafft) als auch für einen Radfahrer, der wie verrückt fast ohne Widerstand in die Pedale tritt, ungefähr richtig erscheint.

Wenn wir nun bergauf laufen oder fahren, ist die anhaltende Aufstiegsgeschwindigkeit so gering, dass die Häufigkeit der Beinbewegungen kein limitierender Faktor mehr ist. Es wird alles auf den Gewinn an potenzieller Energie hinauslaufen. Und hier hat der Radfahrer einen elefantengroßen Nachteil: Das Fahrrad ;-).

Ich würde davon ausgehen, dass der Fahrer mit der richtigen Ausrüstung eine ähnliche Geschwindigkeit hätte wie ein Läufer, der ein Fahrrad trägt – es gibt keinen Grund, warum nicht. Fahrradmechanik und Rollwiderstand brauchen etwas mehr Energie, aber ich würde vermuten, dass das zyklische Treten weniger Muskelreibung hat als das Gehen, das die Beine im Wesentlichen die Hälfte der Zeit "leer" macht. Im Gegensatz dazu haben professionelle Pedale Klickmechanismen für die Schuhe, damit der Fahrer während der Steigung des Tretzyklus ziehen kann, wodurch Totbewegungen minimiert werden. Das sollte mechanische Wärmeverluste ausgleichen, aber wahrscheinlich nicht das Anheben des Fahrrads selbst.

Mit diesen Überlegungen können wir nun abschätzen, bei welcher Geschwindigkeit der Vorteil des Radfahrers gegenüber dem Läufer schwinden sollte: Wenn die Beinbewegung so langsam wird, dass nicht mehr viel Muskelaktion nötig ist, um sie zu beschleunigen. Das sollte ungefähr zu der Zeit sein, zu der die notwendige Beschleunigung nahe dem g der Erde liegt, wenn wir davon ausgehen, dass sich die normale Beinbewegung entwickelt hat, um die Schwerkraftunterstützung auszunutzen, um sie im unbelasteten Zustand hin und her zu schwingen.

Als Schätzung haben wir gesagt, dass ein Schritt 1,5 m beträgt. Über diese Distanz wird das Bein beschleunigt, bis es den Boden berührt, wo es die relative Geschwindigkeit des Läufers hat, bevor es wieder angehoben und abgebremst wird, während der Läufer in der Luft ist. Nehmen wir an, die tatsächliche durch die Schwerkraft unterstützte Beschleunigung beträgt ungefähr 1/2 g, da sich das Bein nicht vertikal bewegt, sondern einer Kurve folgt, aus der wir die Zeit t berechnen können, die es benötigt, um von einer oberen Position zum Boden zu gelangen

$s = 1/2 a t^2$

was wir nach t auflösen:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Wenn wir davon ausgehen$a = 5 m/s^2$Und$s = 0.75 m$wir haben$t = \sqrt{\frac{1.5m}{5m/s^2}} = \sqrt{0.3s^2} = 0.54s$. Da dies ein Viertel eines ganzen Zyklus ist, beträgt die Periode T etwa 2 s und die Frequenz etwa 1/2 Hz ¹ . Jeder vollständige Zyklus, zwei Schritte, bewegt den Läufer um 3 m, so dass wir eine Geschwindigkeit von 3 m/2 s oder 1,5 m/s oder 5,4 km/h haben, eine sehr schnelle Gehgeschwindigkeit.

Erinnern wir uns daran, dass wir den Nachteil eines Läufers in der Beinbeschleunigung jenseits der Schwerkraftunterstützung sehen, und nehmen wir an, dass der Radfahrer immer den perfekten Gang hat, damit sein Vorteil darin besteht, keine Beschleunigungsarbeit an den Beinen leisten zu müssen.

Dann ist der Break-Even-Punkt für den Läufer erreicht, wenn der Steigungswinkel so steil ist, dass bei der „natürlichen“ schwerkraftunterstützten Laufgeschwindigkeit von 1,5 m/s die gesamte Arbeit durch Höhengewinn in potenzielle Energie umgewandelt wird (und keine an das Bein verloren geht Beschleunigung).

Der Radfahrer hätte in diesem Winkel keinen Vorteil mehr, weil er auch nicht schneller fahren könnte, wegen der Physik (und Biologie).

Wir berechnen den Höhengewinn/s für eine moderate anhaltende menschliche Leistungsabgabe von 100 Watt und sehen dann, welchem ​​Winkel das bei den obigen 1,5 m/s entspricht.

Ich wiege übrigens ca. 1000N. Bei 100 W (oder 100 Nm/s) Dauerleistung kann ich also eine Geschwindigkeit von 0,1 m/s klettern (man muss SI-Einheiten einfach lieben). Das wären 100 m in 1000 Sekunden oder 20 Minuten oder so ( scheint ungefähr richtig zu sein. Dies sollte die Steiggeschwindigkeit sein, bei der sich der Unterschied zwischen einem Radfahrer und einem Läufer nur aufgrund des Fahrradgewichts unterscheidet, wodurch der Radfahrer etwa 10% langsamer wird.

Wenn wir uns das Dreieck in Ihrem Diagramm ansehen und das Dreieck der mit 1,5 m/s zurückgelegten Steigung (eine Hypotenuse von 1,5 m) und dem maximal vertretbaren Höhengewinn pro Sekunde (die vertikale Seite von 0,1 m) zeichnen, kommen wir zu einer Steigung von 6,6 %.

Auch wenn insbesondere die Annahmen zur Beinmechanik grob waren und die Beinkinetik furchtbar vereinfacht wurde, ist das Ergebnis für einen durchschnittlich schweren Menschen wie mich nicht ganz unplausibel. Für eine Person mit geringerer Masse und höherer Leistung kann die Steigung leicht zwei- oder dreimal so steil sein, zum Beispiel bei der Tour de France.

_{¹ Wir erhalten eine ähnliche Annäherung, indem wir das Bein als Pendel betrachten, dessen Massenschwerpunkt am Knie liegt, etwa L=50 cm vom Hüftgelenk entfernt. Bei der Erdanziehungskraft von g ist die Periode T eines Pendels mit kleiner Amplitude$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.81}} \approx 2\pi*0.22 \approx 1.35s.$ Pendelrechner , die große Amplituden korrigieren, geben etwa 1,5 s für Winkel von 60 ° von der Vertikalen ab. Auf jeden Fall ist es in der gleichen Größenordnung wie die Berechnung im Text, so grob wie beide sind. Ein kürzerer Zeitraum würde auf einen schnelleren Break-Even-Punkt beim Radfahrer hindeuten.}

Dafür kann man keine Formel finden, weil es von dutzenden Einzeleigenschaften abhängt.

Beispielsweise wird ein geübter Radfahrer mehr vom Fahrrad profitieren und das Fahrrad in einem höheren Winkel benutzen wollen.

Bei Regen ändert sich die Formel. Im Dunkeln ändert sich die Formel. Und so weiter und so fort.

Als interessanter Grenzfall sei darauf hingewiesen, dass die wählbaren Übersetzungen begrenzt sind. Sie können auf einem Fahrrad hängen bleiben, indem Sie Ihre Beinmuskeln auf ineffiziente Weise einsetzen. Beim Laufen kannst du immer kürzere Schritte machen. Ab einem bestimmten Winkel komme ich mit meinem Fahrrad in der niedrigsten Gangeinstellung nicht mehr vorwärts, und daher ist es leicht zu beweisen, dass das Laufen an diesem Punkt schneller ist!