Berechnung der Reibungsrichtung auf einer schiefen Ebene/Bestimmung des Schicksals eines runden Körpers auf einer schiefen Ebene

so dass es genau die Gewichtskomponente dieses Objekts ausgleicht

Ich bin mir nicht sicher, ob diese Annahme richtig ist. Die (Haft-)Reibungskraft hält nur den Kontaktpunkt fest , nicht das gesamte Objekt. Es scheint also keinen offensichtlichen Grund zu geben, anzunehmen, dass diese Reibung das gesamte Gewicht ausgleichen muss.

dann wäre die beschleunigung 0, oder?

Die Beschleunigung des Kontaktpunkts ist Null, ja, aber nicht unbedingt die Beschleunigung des restlichen Objekts.

Wird sich das Objekt also auf dieser Ebene nach unten bewegen?

Versuchen wir, das herauszufinden. Der Ball bewegt sich den Hang hinunter, wenn von seinem Massenmittelpunkt eine Nettokraft in diese Richtung wirkt (2. Newtonsches Gesetz). Die einzigen Kräfte entlang des Hanges sind die Haftreibung und die Gewichtskomponente. Wie oben erwähnt, wissen wir leider nicht genau, wie das Verhältnis zwischen diesen beiden Kräften ist - wir kennen die Größe der Reibungskraft nicht.

Wie groß die Haftreibungskraft ist, lässt sich nicht ohne Weiteres erkennen, sie kann kleiner sein als der Gewichtsanteil. Oder es könnte größer sein. Oder gleich. Nehmen wir nichts an, sondern berechnen es genau.

Ein Weg, um herauszufinden, in welche Richtung sich der Ball bewegen wird, könnte beispielsweise darin bestehen, ein anderes Gesetz als das 2. Gesetz von Newton zu betrachten. Ein solches anderes Gesetz könnte die Rotationsversion von Newtons 2. Gesetz sein :

Dies ist eine einfache Analyse des Drehmomentgleichgewichts. Wir wählen einen zu betrachtenden Punkt aus und analysieren dann auf Kräfte, die Drehmomente um diesen Punkt herum verursachen.

• Um den Massenmittelpunkt herum erzeugt die Haftreibung ein unausgeglichenes Drehmoment im Gegenuhrzeigersinn.
• Als Kontrolle könnten wir beispielsweise auch den Kontaktpunkt betrachten, um den herum das Gewicht ein unausgeglichenes Drehmoment im Gegenuhrzeigersinn erzeugt.

Sie sind einverstanden. Es gibt ein unausgeglichenes Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn, das eine Abwärtsrolle verursacht.

Wird es sich also immer noch nach unten bewegen, obwohl es keine Kraft in der Abwärtsrichtung gibt, die ihm eine Translationsbewegung entlang der Neigung verleihen würde?

Da wir jetzt aus dem Obigen wissen, dass es eine Abwärtsrolle gibt, wissen wir damit auch, dass es eine Nettokraft den Hang hinunter geben muss . Sonst würde, wie Sie richtig erwähnen, auf die Rotationsbewegung keine Translationsbewegung nach unten folgen, und das ist natürlich unmöglich, wenn wir kein Rutschen annehmen.

Woher also kommt diese nach unten gerichtete Nettokraft? Am Hang ziehen nur zwei Kräfte: die Haftreibung und die Gewichtskomponente. Wir wissen, dass Haftreibung aufgrund der Natur der Haftreibung als Reaktionskraft nach oben zieht. Diese Drehmomentanalyse hat uns also hiermit bewiesen, dass die nach unten gerichtete Gewichtskomponente größer sein muss als die nach oben gerichtete Haftreibung.

Und da ist es.

Wir kennen jetzt die Reibungsrichtung und die Tatsache, dass sie mit Sicherheit kleiner als die Gewichtskomponente ist. Wenn Sie den genauen Wert der Haftreibung wissen möchten, würde ich eine geometrische Bindung einbringen, die die Translationsbeschleunigung an die Rotationsbeschleunigung bindet. Ich glaube, mit dieser Gleichung hätten Sie genug, um die Translationsbeschleunigung nach unten zu lösen. Die kannst du dann in Newtons 2. Gesetz einsetzen und nach der Haftreibung auflösen.

Das ist der Fehler, den Sie machen:

$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$

Reibung wird nie gleich sein$\mu mg \cos \theta$. Warum?

Die Reibung ist statisch und versucht nur, das Rutschen zwischen dem Kontaktpunkt und dem Boden zu verhindern. Die Nettobeschleunigung des Bodenkontaktpunktes$\ne g\sin\theta$aufgrund des durch Reibung erzeugten Drehmoments im Gegenuhrzeigersinn. (wie du gesagt hast)

Auch dieser Absatz:

Oder könnte es sein, dass die Reibung zunächst nach unten wirkt und ihre Gewichtskomponente erhöht und beschleunigt und dann wieder in Rückwärts- / Aufwärtsrichtung wirkt, um eine reine Rollbewegung zu erzielen? Dies würde jedoch bedeuten, dass es ein Drehmoment im Uhrzeigersinn hat, was für ein Objekt, das nur für sich allein gehalten wird, absurd erscheint.

Das ist auch falsch.

Sie müssen berücksichtigen, wo die Kraft auf ein Objekt wirkt. Bei einer Kugel oder einem Reifen wirkt es effektiv auf den Massenmittelpunkt des Objekts. Unter der Annahme einer einheitlichen Form und Dichte ist dies das Zentrum.

Wenn Sie Kräfte auf diese Weise betrachten, dann gibt es Gegenkräfte aus dem Gewicht des Objekts auf der geneigten Ebene, die sich gegenseitig aufheben, die Reibungskraft aufgrund der Normalkraft und die Schwerkraft, die auf den Massenmittelpunkt des Objekts wirkt. Da der Massenschwerpunkt nicht in Kontakt mit der Ebene steht, sondern in einiger Entfernung davon, wirkt ein Drehmoment und erzeugt eine Bewegung. In diesem Fall ist es unwahrscheinlich (es sei denn, die Oberfläche der Neigung ist haftend), dass genügend Reibungskraft vorhanden ist, um eine Drehung der meisten Objekte zu verhindern. Daher rollen sie das Flugzeug hinunter.

Wenn ein rundes Objekt (z. B. ein Ring oder eine Kugel) auf einer grob geneigten Neigungsebene gehalten wird$\theta$und Reibungskoeffizient$\mu$ist so, dass es genau die Gewichtskomponente dieses Objekts ausgleicht, das heißt,$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$, dann wäre es Beschleunigung$0$, Rechts?

Eine Sache, die in den anderen Antworten angedeutet, aber nicht explizit erwähnt wurde, ist, dass die Haftreibung nicht durch eine Gleichheit, sondern durch eine Ungleichheit beschrieben wird. So sollte die Haftreibungsgleichung lauten

Die Reibungskraft,$F_f$, nimmt jeden Wert an, der kleiner oder gleich dem Grenzwert ist. Der genaue Wert, den es braucht, ist der Wert, der notwendig ist, um ein Rutschen an der Kontaktfläche zu verhindern. Das bedeutet, dass der erforderliche Wert durch Einschränkungen und nicht nur durch Kräfte bestimmt werden muss.

In diesem Fall ist das der Roll-ohne-Schlupf-Zustand. Das bezieht sich auf die Winkelbeschleunigung des Objekts und seine Translationsbeschleunigung. Wenn Sie das einschließen, werden Sie das finden$F_f$ist tatsächlich kleiner als dieser Grenzwert, und das ist es, was es dem Objekt ermöglicht, den Hang hinunterzurollen.