Beschleunigung des sich bewegenden Bezugsrahmens

Question

Beschleunigung des sich bewegenden Bezugsrahmens

Phausamann

Ich möchte die Messwerte eines Beschleunigungsmessers simulieren, der willkürlich durch den 3D-Raum bewegt wird. In einem Trägheitsbezugssystem $W$ , wird die Bewegung des Beschleunigungsmessers durch seine lineare Beschleunigung beschrieben $\vec{a}_{A/W}(t)$ und seine Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}_{A/W}(t)$ . Nehmen wir an, es gäbe keine Schwerkraft und at $t=0$ das Bezugssystem des Beschleunigungsmessers $A$ ist gleich $W$ .

Die Frage ist, wie berechne ich die vom Beschleunigungsmesser gemessene Beschleunigung? ich weiß, dass $\vec{a}_{A/W}(t) = \vec{a}_{A/A}(t) + \vec{\omega}_{A/W}(t) \times \vec{v}_{A/A}(t)$ , aber die Beschleunigung und Geschwindigkeit eines Referenzrahmens in Bezug auf sich selbst sollten Null sein, richtig? Was vermisse ich? Was misst der Beschleunigungssensor eigentlich und in welchem Bezugssystem?

DilithiumMatrix

Ein Beschleunigungsmesser misst die Kraft, die er fühlt, in seinem Referenzrahmen – der ungleich Null ist, wenn er beschleunigt.

John Alexiou

Es misst also Änderungen des linearen Impulses in einem Inertialsystem.

Antworten (3)

Beschleunigung des sich bewegenden Bezugsrahmens

Ein Beschleunigungsmesser misst die Kraft, die er fühlt, in seinem Referenzrahmen – der ungleich Null ist, wenn er beschleunigt.
Es misst also Änderungen des linearen Impulses in einem Inertialsystem.

John Alexiou · Answer 1

Um Geschwindigkeiten zwischen zwei Punkten A und B zu verschieben , gehen Sie wie folgt vor:

{\vec{v}}_{B} = {\vec{v}}_{A} + \vec{ω} \times ({\vec{R}}_{B} - {\vec{R}}_{A})

$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times (\vec{r}_B- \vec{r}_A)$

Die Ableitung des Obigen verschiebt die Materialbeschleunigungen von A nach B

{\vec{A}}_{B} = {\vec{A}}_{A} + \vec{a} \times ({\vec{R}}_{B} - {\vec{R}}_{A}) + \vec{ω} \times ({\vec{v}}_{B} - {\vec{v}}_{A})

$\vec{a}_B= \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times (\vec{r}_B- \vec{r}_A) + \vec{\omega} \times (\vec{v}_B - \vec{v}_A)$

Es gibt auch die räumliche Beschleunigung, die die Beschleunigung eines festen Punktes im Raum ist (die Beschleunigung des Materials, das unter diesem Punkt hindurchgeht), die sich wie die Geschwindigkeit umwandelt

{\vec{A}}_{B}^{'} = {\vec{A}}_{A}^{'} + \vec{a} \times ({\vec{R}}_{B} - {\vec{R}}_{A})

$\vec{a}'_B = \vec{a}'_A + \vec{\alpha} \times (\vec{r}_B- \vec{r}_A)$

Sie wandeln mit der folgenden Regel von räumlich zu materiell um

\begin{aligned} {\vec{A}}_{A} & = {\vec{A}}_{A}^{'} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A} \\ {\vec{A}}_{B} & = {\vec{A}}_{B}^{'} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{B} \end{aligned}

$\begin{aligned} \vec{a}_A & = \vec{a}'_A + \vec{\omega} \times \vec{v}_A \\ \vec{a}_B & = \vec{a}'_B + \vec{\omega} \times \vec{v}_B \end{aligned}$

Schließlich wird die momentane Rotationsachse (COR) durch gefunden

{\vec{R}}_{C Ö R} = {\vec{R}}_{A} + \frac{\vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}}{“ \vec{ω} “^{2}}

$\vec{r}_{COR} = \vec{r}_A + \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}_A}{\| \vec{\omega} \|^2 }$

Ich hoffe das hilft.

RW Vogel · Answer 2

Wenn die Messungen des Beschleunigungsmessers in einem Trägheitsrahmen erfolgen, benötigen Sie einen, der nicht beschleunigt oder rotiert. Wenn Sie dieses Ding zur Navigation verwenden, sollte sich Ihr Trägheitsrahmen nicht mit der Erde drehen. Da das Instrument und die Erde beide der gleichen Geodäte um die Sonne folgen, brauchen Sie sich wahrscheinlich nicht um die Zentripetalbeschleunigung der Erde zu kümmern.

gs · Answer 3

Funktion des Beschleunigungsmessers

Der Beschleunigungsmesser misst die zeitliche Ableitung seines eigenen Impulses, wie er von einem Trägheitsrahmen mit der gleichen Geschwindigkeit gemessen würde. Der Messwert wird jedoch nicht angezeigt. Es zeigt den gemessenen Wert dividiert durch seine vorprogrammierte bekannte Ruhemasse an.

\frac{D P}{D T} := F = \frac{D (M v)}{D T} = \frac{D M}{D T} v + \frac{D v}{D T} M

$\frac{dp}{dt} := F = \frac{d(mv)}{dt} = \frac{dm}{dt}v +\frac{dv}{dt}m$

Für kleine Relativgeschwindigkeiten zwischen dem Beschleunigungssensor und dem Messrahmen W, $m = m_0$ , $\frac{dm}{dt} = 0$ und wir können zu vereinfachen $F = m_0\frac{dv}{dt}$ . Der Beschleunigungsmesser dividiert durch die vorprogrammierte bekannte Ruhemasse und zeigt diese an $\frac{dv}{dt}$ .

Vorhersage der Anzeige des Beschleunigungsmessers aus einem willkürlichen Trägheitsrahmen

Für ein Objekt A, das sich um einen beschleunigenden Drehpunkt C mit dem Radius r dreht, Winkelgeschwindigkeit $\omega$ , alle gemessen an W :

\frac{D \vec{v}}{D T} = {\vec{A}}_{A} = {\vec{A}}_{C} - R ω^{2} \hat{R}

$\frac{d\vec v}{dt} = \vec a_A = \vec a_C - r\omega^2 \hat r$

Wenn wir die Annäherung machen können $m = m_0$ , wir sind fertig: Wenn W durch ihr Teleskop auf den Beschleunigungsmesser schaut, ist das der Wert, den sie lesen wird.

Wenn Sie das Ergebnis auf relativistische Relativgeschwindigkeiten erweitern möchten (wenn wir das Experiment über einen langen Zeitraum durchführen, sodass v , gemessen an W, ein signifikanter Bruchteil von c ist ):

M = γ (v) M_{0}

$m=\gamma(v) m_0$ Wo

γ (v) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}

$\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

dann erhält man durch Ausführen der zeitlichen Ableitung des Impulses:

\frac{D \vec{P}}{D T} = \frac{γ^{3} M_{0}}{C^{2}} (\vec{v} \cdot \vec{A}) \vec{v} + γ M_{0} \vec{A}

$\frac{d\vec p}{dt} = \frac{\gamma^3 m_0}{c^2}(\vec v \cdot \vec a)\vec v + \gamma m_0 \vec a$

und W kann vorhersagen, dass, wenn W durch ein Teleskop auf die Anzeige des Beschleunigungsmessers schaut, es lesen wird

\frac{γ^{3}}{C^{2}} (\vec{v} \cdot \vec{A}) \vec{v} + γ \vec{A}

$\frac{\gamma^3}{c^2}(\vec v \cdot \vec a)\vec v + \gamma \vec a$

Wo $\vec a$ ist wie oben berechnet. Beachten Sie, dass für kleine Relativgeschwindigkeiten ( $v<<c$ ), $\gamma \to 1$ so zeigt der Beschleunigungsmesser an $\vec a$ wie Sie es erwarten würden.

Beschleunigung des sich bewegenden Bezugsrahmens

Phausamann

DilithiumMatrix

John Alexiou

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John Alexiou

RW Vogel

gs

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