Bessere Annäherungen mit zwei Stöcken

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Bessere Annäherungen mit zwei Stöcken

Sch

Wie eine Annäherung erfolgen soll, verwirrt mich immer wieder. Betrachten Sie dieses Problem in einem Lehrbuch:

Zwei masselose Stöcke der Länge $2r$ , jeweils mit einer Masse $m$ in der Mitte befestigt, an einem Ende angelenkt sind. Einer steht über dem anderen. Das untere Ende des unteren Stocks ist am Boden angelenkt. Sie werden so gehalten, dass der untere Stock senkrecht steht und der obere in einem kleinen Winkel geneigt ist $ε$ in Bezug auf die Vertikale. Anschließend werden sie entlassen. Wie groß sind in diesem Moment die Winkelbeschleunigungen der beiden Stöcke? $ε$ ist sehr klein.

Kurze Vision: Es schien mir, dass der Autor (David Morin) in der Lösung eine Annäherung an die Lagrange mit Annäherung erster Ordnung an den Term der kinetischen Energie und dann Annäherung zweiter Ordnung an den Term der potentiellen Energie vorgenommen hat.

Ich habe zwei Fragen und habe sie am Ende dieses Beitrags aufgeführt.

Weitblick: Die kinetische Energie des Lagrange ist explizit:

\frac{1}{2} M R^{2} [(2 {\dot{θ}}_{1} C Ö S θ_{1} - {\dot{θ}}_{2} C Ö S θ_{2})^{2} + (- 2 {\dot{θ}}_{1} S ich N θ_{1} - {\dot{θ}}_{2} S ich N θ_{2})^{2}] + \frac{1}{2} M R^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2}

$\frac{1}{2}mr^2[(2\dot\theta_1cos\theta_1-\dot\theta_2cos\theta_2)^2+(-2\dot\theta_1sin\theta_1-\dot\theta_2sin\theta_2)^2]+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta_1^2$

Zu meinem Verständnis,

Mit Näherung 1. Ordnung $^{\dagger}$ , wir erhalten:

\frac{1}{2} M R^{2} (2 {\dot{θ}}_{1} - {\dot{θ}}_{2})^{2} + \frac{1}{2} M R^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2}

$\frac{1}{2}mr^2(2\dot \theta_1 − \dot \theta_2)^2+\frac{1}{2}mr^2\dot\theta_1^2$

Die potentielle Energie ist:

M G R (3 C Ö S θ_{1} + C Ö S θ_{2})

$mgr(3cos\theta_1 + cos\theta_2)$

mit Näherung 2. Ordnung:

M G R (4 - \frac{3}{2} θ_{1}^{2} - \frac{1}{2} θ_{2}^{2})

$mgr(4− \frac{3}{2}θ_1^2 − \frac{1}{2}θ_2^2)$

Erhalten Sie daher EOMs:

5 {\ddot{θ}}_{1} - 2 {\ddot{θ}}_{2} = \frac{3 G}{R} θ_{1}

$5\ddot\theta_1 − 2\ddot\theta_2 = \frac{3g}{r}\theta_1$

- 2 {\ddot{θ}}_{1} + 1 {\ddot{θ}}_{2} = \frac{G}{R} θ_{1}

$-2\ddot\theta_1 + 1\ddot\theta_2 = \frac{g}{r}\theta_1$

Mit den Anfangsbedingungen $\theta_1=0$ Und $\theta_2=\varepsilon$

{\ddot{θ}}_{1} = \frac{2 G ε}{R}

$\ddot θ_1=\frac{2g\varepsilon}{r}$

{\ddot{θ}}_{2} = \frac{5 G ε}{R}

$\ddot θ_2=\frac{5g\varepsilon}{r}$

Ich habe einen anderen Näherungsansatz verwendet - ich habe gleich zu Beginn die Kleinwinkelnäherung verwendet und angenommen, dass sich der obere Stab in diesem Moment nur wie eine Masse verhält $m$ auf einem langen Stock mit Länge $3r$ -- erhielt dann eine Antwort in derselben mathematischen Form, aber mit einem Unterschied um eine Größenordnung, ( $\ddot \theta_1 = g\varepsilon/3r$ ).

Jetzt bin ich in zweierlei Hinsicht zutiefst verwirrt: einmal technisch, einmal methodisch.

Können wir technisch gesehen verschiedene Ordnungsnäherungen in einer einzigen Gleichung machen?
Woher weiß ich methodisch, welche eine bessere Annäherung ist? (Mit anderen Worten, wie kann man eine bessere Annäherung vornehmen?)

$\dagger$ Er erklärte:

Wir können dies vereinfachen, indem wir die Kleinwinkelnäherungen verwenden. Die Terme, die sin θ beinhalten, sind vierter Ordnung in den kleinen θ's, also können wir sie vernachlässigen. Außerdem können wir cos θ durch 1 approximieren, da dies bedeutet, dass nur Terme von mindestens vierter Ordnung fallen gelassen werden. So wird die kinetische Energie der oberen Masse $\frac{1}{2}mr^2(2\dot\theta_1 − \dot\theta_2)^2$

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Bessere Annäherungen mit zwei Stöcken

Noah · Answer 1

Es ist selten sinnvoll, in einer einzigen Gleichung Annäherungen unterschiedlicher Ordnung zu machen, weil entweder die grobe Annäherung ausreicht und sie dann überall verwendet, oder nicht, und sie dann nirgendwo verwendet. Es gibt jedoch Feinheiten, bei denen es so aussieht, als ob die Befehle unterschiedlich sind, aber beim Erreichen des Ergebnisses sind sie es nicht.

In diesem speziellen Beispiel sind sie alle Näherungen 3. Ordnung, dh die Gleichungen benötigen a ${}+\mathcal{O}(\theta^4)$ , wegen der Quadrate im kinetischen Energieausdruck. Wenn er 1. Ordnung sagt, ist das technisch nicht korrekt, da es sich um die erste Ordnung in einem Term handelt, der dann quadriert wird, wodurch er zur zweiten Ordnung wird (außerdem verschwinden die Terme der 3. Ordnung, wodurch er effektiv zur 3. Ordnung wird, wie oben erwähnt).

Ich kann deiner Vorgehensweise nicht wirklich folgen. Es gibt eindeutig ein Scharnier, das die Bewegung schon im ersten Moment beeinflusst, sodass Sie es nicht einfach als steif annähern können. Dies wäre eine Annäherung nullter Ordnung in $\ddot{\theta}_2$ , da Sie im Grunde sagen $\ddot{\theta}_2 = 0$ . Allerdings wissen wir nichts darüber $\ddot{\theta}_2$ , was es zu einer schlecht zu approximierenden Variable macht. Aber wir wissen es $\theta_1(0)$ Und $\theta_2(0)$ , was sie zu guten Variablen für Annäherungen macht.

Eine gute Faustregel ist, dass Sie Ihre Annäherungen so spät wie möglich vornehmen (dh wenn Ihnen die mathematischen Fähigkeiten oder die Geduld ausgehen). Beginnen Sie mit genauen Ausdrücken und wenn Sie sich aller Orte sicher sind $\theta$ schließlich erscheinen wird, nehmen Sie Ihre Annäherungen an die gewünschte Reihenfolge vor. Achten Sie darauf, nur die Variable zu approximieren, von der Sie tatsächlich wissen, dass sie klein ist, und implizieren Sie nichts über andere Variablen oder Zeitableitungen.

Danke! Nur zur Verdeutlichung: Die Worte "1. Ordnung" und "2. Ordnung" sind meine Worte, wahrscheinlich mein Missverständnis. Die Worte des Autors stehen im Zitat unten. // Ich denke, ich habe eine schlechte Annäherung gemacht, ich schien ein bisschen zu viele Dinge angenommen zu haben. Die Fehler können sich recht hoch summieren.

Sch · Answer 2

Nachdem ich Lawrence Krauss' Fear of Physics gelesen hatte, fand ich einige Worte seines Testaments, die etwas Licht auf meine zweite Frage werfen, wie man bessere Annäherungen machen kann. Obwohl er sich hauptsächlich auf die Modellierung bezieht, da Modellierung und Approximation eng miteinander verwandt sind, werde ich die Worte von Krauss hier teilen:

……Bevor Sie irgendetwas anderes tun [bei der Arbeit in der Wissenschaft], abstrahieren Sie alles Unwesentliche!

Es gibt hier zwei Operateure [über das Modellieren]: abstrakt und irrelevant. Unwichtige Details loszuwerden, ist der erste Schritt beim Aufbau eines jeden Modells der Welt, und wir tun dies unbewusst von dem Moment an, in dem wir geboren werden. Den natürlichen Wunsch zu überwinden, unnötige Informationen nicht wegzuwerfen, ist wahrscheinlich der schwierigste und wichtigste Teil des Physiklernens. Darüber hinaus ist das, was in einer bestimmten Situation irrelevant sein kann, nicht universell, sondern hängt in den meisten Fällen davon ab, was Sie interessiert. Dies führt uns zum zweiten operativen Wort – Abstraktion. Von all dem abstrakten Denken, das in der Physik erforderlich ist, liegt die größte Herausforderung wahrscheinlich darin, zu entscheiden, wie man ein Problem angeht. Die bloße Beschreibung der Bewegung entlang einer geraden Linie erforderte genug Abstraktion, dass sie sich bis Galileo einigen ziemlich beeindruckenden Intellektuellen weitgehend entzog……

Nach ein paar Seiten schrieb er weiter...

Woher wissen Sie im Voraus, was wesentlich ist, was Sie sicher wegwerfen können? Oftmals nicht. Der einzige Weg, dies herauszufinden, besteht darin, so gut wie möglich vorzugehen und zu sehen, ob das Ergebnis Sinn macht. Mit den Worten von Richard Feynman: „Verdammt die Torpedos, volle Kraft voraus!“

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Sch

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Noah

Sch

Sch

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