Bestimmung des Grundzustandes einer Feldtheorie

Mit einem Lagrange wie:$\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^\dagger \, \partial^\mu \phi - V(\phi) = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi)$, der Hamiltonoperator ist:

$$\begin{equation*} \mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi}} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi^\dagger}} - \mathcal{L} \end{equation*}$$ was ergibt: $$\begin{equation*} \begin{array}{ll} \mathcal{H} & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - ( \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi) ) \\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi + V(\phi)\\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \vec{\nabla} \phi^\dagger . \vec{\nabla} \phi + V(\phi) \\ & = |\mathring{\phi}|^2 + |\vec{\nabla} \phi|^2 + V(\phi) \end{array} \end{equation*}$$ Wir stellen fest, dass die ersten beiden Terme des Hamiltonoperators positiv definiert sind und verschwinden, wenn $\phi$ist ein konstantes Feld (unabhängig von der Raumzeit). Daher das Minimum von $\mathcal{H}$für ein konstantes Feld erreicht wird $\phi_0$das minimiert die letzten 2 Terme dh das Potential $V(\phi_0)$.

Hinweise:

1. Dann mögliche Amtszeit$\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2$ist semipositiv definit und ist nur für a null$x$-unabhängige Konfiguration$\phi$.

2. Vervollständigt man das Quadrat des Potentials

   $$V(\phi)~=~\frac{\lambda}{4}\phi^4-\frac{\mu^2}{2}\phi^2~=~ \frac{\lambda}{4} \left(\phi^2-\frac{\mu^2}{\lambda}\right)^2-\frac{\mu^4}{4\lambda},$$ dann wird klar, dass die$\phi$-Mindestkonfigurationen für die beiden Potentiale$V(\phi)$Und $$U(\phi)~=~\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+V(\phi)$$ sind gleich.