Yukawa-Matrizen

Ja, die Werte der Massen sind reelle positive Zahlen. Erinnere dich daran, wie du sie aus der komplexen Matrix Y herausgefunden hast .

Beachte das erstmal$Y Y^\dagger$ist hermitesch und hat positive Eigenwerte und kann daher geschrieben werden als

$$Y Y^\dagger = U D ^2 U^\dagger$$ für ein einheitliches U und ein diagonales reelles D ohne Nulleinträge, der Einfachheit halber.

Ziehen Sie die positiven Quadratwurzeln. Definiere die hermitesche Matrix

$$H = UD U^\dagger ~~~~\leadsto ~~~ H^2= UD^2 U^\dagger ,\\ H^{-1}= U D^{-1} U^\dagger.$$ Definieren Sie die unitäre Matrix $$S\equiv H^{-1} Y ~~~ \leadsto ~~~ Y=H S, \\ Y= U D U^\dagger S\\ \equiv U D K^\dagger ,$$ wobei K unitär ist. Hätten wir die positiven Wurzeln für die Diagonale D nicht gezogen , könnten wir sie positiv machen, indem wir die negativen Vorzeichen diagonal in einbeziehen$K^\dagger \equiv U^\dagger S$ihre Einheitlichkeit bewahren.

Also wurde Y zu einer reellen positiven Diagonalen D bidiagonalisiert , die jetzt sicher mit einer Diagonalen M identifiziert wird . Jetzt können Sie U oder K anwenden , das an die linkschiralen Fermionkomponenten angrenzt, um die CKM-Matrix zu erzeugen.

Beachten Sie den folgenden Begleitausdruck zur ersten Gleichung, der beim Identifizieren von K nützlich ist .

$$Y^\dagger Y = K D^2 K^\dagger .$$

Für Null-Eigenwerte siehe Singular Value Decomposition .