Beweis, dass Vektoren die Realität korrekt beschreiben

Die Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Physikalisch bedeutsam sind nur experimentelle Messungen. Eines unserer Ziele als Physiker ist es, mathematische Modelle aufzuschreiben, deren Ergebnisse diesen Messungen entsprechen. Die einzige Möglichkeit, die Gültigkeit eines Modells zu überprüfen, besteht darin, die Ergebnisse des Modells mit den Messungen zu vergleichen. Es gibt keine Möglichkeit, jemals zu garantieren oder zu beweisen , dass ein bestimmtes Modell im Sinne eines mathematischen Beweises korrekt ist. Das Beste, was wir jemals tun können, ist Beweise dafür zu erhalten, dass unser Modell mit Experimenten übereinstimmt.

Da die einzigen Dinge mit physikalischer Bedeutung Messungen sind, haben die mathematischen Objekte und Techniken, die wir in unseren Modellen verwenden, in der physikalischen Welt keine Bedeutung. Sie sind nur Werkzeuge zur Berechnung von Ergebnissen, die wir mit Experimenten vergleichen können.

Wenn wir ein Modell wie die Newtonsche Mechanik verwenden, das Vektoren verwendet, um Vorhersagen zu erstellen, die mit Experimenten übereinstimmen, akzeptieren wir die Gültigkeit dieses Modells, einschließlich der mathematischen Werkzeuge, die es anwendet. Aber das ist absolut kein Beweis dafür, dass Vektoren eine Beschreibung der Realität liefern, noch können wir jemals hoffen, einen solchen Beweis zu haben – weil Experimente nichts beweisen können und weil experimentelle Messungen die einzige Beschreibung der Realität sind.

Abgesehen davon sind Vektoren sehr natürliche und generische mathematische Objekte, die jedes Mal auftauchen, wenn wir ein lineares Modell verwenden. Lineare Modelle sind in der Regel die am einfachsten zu verstehenden und zu berechnenden Modelle. (Vielleicht liegt das an der Art und Weise, wie sich unser Gehirn entwickelt hat.) Vieles, was wir in der Physik tun, besteht darin, komplizierte Probleme auf etwas Lineares zu reduzieren, wobei in diesem Fall immer Vektoren auftauchen.

Zum Beispiel ist die Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie kein linearer Raum. Aber wenn wir in einen infinitesimal kleinen Bereich der Raumzeit hineinzoomen, können wir diesen kleinen Bereich durch einen linearen Raum modellieren, den wir mit Vektoren beschreiben können. Dann können wir die komplizierte Raumzeit im Wesentlichen durch Zusammenkleben dieser linearen Räume beschreiben.

Ein weiteres Beispiel ist, dass wir uns in der Physik für die Wirkung von Symmetrien auf unser Modell interessieren. Um zu untersuchen, wie sich diese Symmetrien verhalten, können wir uns insbesondere ansehen, wie sie sich auf lineare Räume – also auf Vektoren – auswirken. Dies nennt man Repräsentationstheorie. Die Darstellungstheorie ist für unser aktuelles Verständnis der Quantenmechanik von wesentlicher Bedeutung.

Trotz der Tatsache, dass Vektoren keine physikalische Bedeutung haben und haben können, werden Vektoren wahrscheinlich immer in unseren physikalischen Modellen auftauchen, weil wir immer in der Lage sein werden, komplizierte Probleme auf leichter verständliche lineare Probleme zu reduzieren.