Beweis der De-Broglie-Wellenlänge für Elektron

De Broglie schlug vor, dass die Beziehung$p=h/\lambda$nicht nur für Photonen, sondern auch für massive Teilchen gelten würde. Dies inspirierte Schrödinger zu seiner berühmten Gleichung.

Der$c$In$mc^2$ist nicht die tatsächliche Geschwindigkeit des Teilchens (es sei denn, wir sprechen von Licht, aber dann wäre m null).$mc^2$ist einfach die Energie, die das Teilchen in Ruhe hat. Ich weiß nicht genau, wie De Broglie das gemacht hat, aber man kann es so beweisen:

Zuerst können Sie beweisen, dass der Impulsoperator sein sollte$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$indem Sie den Generator des Übersetzungsoperators auf quantenmechanische Weise finden (was Ihnen so etwas gibt wie$\frac{d}{dx}$als Generator) und den klassischen Weg (der Ihnen als Generator den Impuls gibt) und geben Sie einfach an, dass beide Ergebnisse äquivalent sein sollten. Wenn das ungewohnt klingt, dann schlage ich vor, dass Sie sich mit Noethers Theorem befassen (es ist eines der coolsten Theoreme in Mathematik/Physik, also würde ich es trotzdem vorschlagen). Aber wenn Sie damit einverstanden sind, einfach anzunehmen, dass der Impulsoperator gleich ist$\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$, dann können Sie einfach von dort aus beginnen.

Verwenden$p = \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$und der Annahme, dass Teilchen eine wellenartige Natur haben, kann man das beweisen$p = \frac{h}{λ}$. Denn im Allgemeinen können wir die Wellenfunktion eines gegebenen Zustands eines Teilchens schreiben als:$Ψ(x,t) = Ψ_0 e^{i(kx-ωt)}$, was uns gibt:$pΨ = \frac{\hbar}{i}\frac{dΨ}{dx} = \hbar k Ψ$, So$p = \hbar k = h/λ$.

Sie können dasselbe tun, um den Satz von Planck zu beweisen, indem Sie zuerst den Generator der Zeitverschiebung finden und beweisen, dass der Energieoperator sein sollte$i \hbar \frac{d}{dt}$, und lassen Sie diesen Operator dann weiterarbeiten$Ψ$nochmal.

NB: Im allgemeinsten Fall$Ψ(x,t)$soll eine Überlagerung von Wellenfunktionen mit unterschiedlichen sein$Ψ_0$,$k$und/oder$ω$, aber dann kannst du dir nicht mehr sicher sein, wie groß der Impuls deines Teilchens ist.

Der "Beweis" auf die Frage ist falsch, da er behauptet, dass die Energie der Materiewelle ist$E=mv^2$, was das Doppelte von dem ist, was es wirklich ist.

Hier werde ich den nicht-relativistischen Fall demonstrieren. Für den relativistischen Fall kann man die Hypothese von de Broglie nicht beweisen , sie sollte ein Postulat sein, genau wie die Hypothese von Planck. Tatsächlich bezieht sich das Postulat in der relativistischen QM auf einen Vierervektor:$p^\mu = \hbar k^\mu$, Wo$p^\mu=(E/c, \mathbf{p})$ist vier-Impuls und$k^\mu = (\omega/c, \mathbf{k})$ist der Wellen-Vier-Vektor.

Die Gruppengeschwindigkeit für jede Welle ist wie folgt:

Da die Gruppengeschwindigkeit der tatsächlichen Geschwindigkeit des Wellenpakets entspricht, dann