Bewertung von Erwartungswerten

Das Problem ist von Grund auf schlecht gestellt, weil$|p_i\rangle$ist kein Element des Hilbert-Raums und gehört erst recht nicht in den Bereich von$\hat{p}$. Das gleiche Problem tritt beim Nachdenken auf$\hat{f}|p_i\rangle$.

Streng genommen übrigens$\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$ist nicht vorhanden. Aus mathematischer Sicht endet das Problem hier, da ex falso quodlibet .

Allerdings lässt sich mit einer geeigneten Interpretation etwas sagen$\langle p_i|i[\hat p,\hat f]|p_i\rangle$. Naiv, aber direkt kann man diese Interpretation geben, indem man unwesentliche Zeichen und Konstanten weglässt,

$$\langle p_i|[\hat p,\hat f]|p_i\rangle= i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} \left(\frac{d}{dx} f(x) e^{ip_ix}\right) dx - i\int_{\mathbb R} e^{-ip_ix} f(x)\frac{d}{dx} e^{ip_ix} dx\:. \quad [1]$$ Dieses Integral kann berechnet werden und ergibt das Ergebnis (2). Das Ergebnis (1) kann mit dieser einfachen Interpretation des Formalismus nicht erhalten werden, da es auf der formalen Selbstadjungiertheit von beruht $i\frac{d}{dx}$, das ist die Identität: $$i \int_{\mathbb R} \psi(x) \frac{d}{dx} g(x) dx = i\int_{\mathbb R} \left( \frac{d}{dx}\psi(x)\right) g(x) dx \quad [2]$$ Diese Identität gilt tatsächlich für einige Klassen von Funktionen $\psi,g$(teilweise auch ggf $\psi, g$gehören nicht dazu $L^2(\mathbb R)$). Im Vergleich zum ersten Term auf der rechten Seite von [1] haben wir, dass es sein sollte, $$g(x) = f(x) e^{ip_ix} \quad \psi(x) = e^{-ip_ix}\:.$$ Diese Funktionen wurden jedoch korrigiert, um sie falsch zu machen [2]!

Es ist keine direkte Antwort auf Ihren Fall, sondern einige relevante Beobachtungen. Trotzdem ist es zu lang, um es als Kommentar zu posten.

Wir betrachten eine ähnliche Situation, (ich lasse die Hüte weg)

$$\langle p | [x,p] | p \rangle \tag{1}$$

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Erwartung von (1) zu berechnen.

Der erste,

$$\langle p | xp -px | p \rangle = p ( \langle p|x|p \rangle - \langle p|x|p \rangle) =0 \tag{2}$$

Der Zweite,

$$\langle p | i | p \rangle = i \delta(0) = i \infty \tag{3}$$

Es gibt eine Inkonsistenz. Das Problem ist,

$$\langle p |x|p \rangle = \int \int dx dx' \langle p|x \rangle \langle x| x| x '\rangle \langle x'| p\rangle = \int x dx = \infty -\infty \tag{4}$$ , was schlecht definiert ist, es sei denn, wir nehmen den Kapitalwert auf.

Wir können eine konservativere Berechnung im Sinne des ersten Ansatzes vornehmen,

$$\lim_{p'\rightarrow p} \langle p | [x,p] | p' \rangle = \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \langle p | x | p' \rangle = i \lim_{p'\rightarrow p} (p' - p) \frac{ \partial}{\partial p} \delta(p-p') = i \lim_{p'\rightarrow p} \delta (p - p') = i \delta(0) \tag{5}$$

Jetzt ist alles stimmig.

Ich denke, die Situation ist ähnlich für$f=ArcTan(e^x)$, obwohl ich das Integral in nicht ausgearbeitet habe$\lim p' \rightarrow p$Ansatz.

(1) Sieht einfach falsch aus, weil Sie die Operatoren nicht auf den Zustand angewendet haben$|p\rangle$korrekt. Operatoren handeln von rechts nach links, also sollten Sie Folgendes erhalten:

$$\left(\hat{p}\hat{f}-\hat{f}\hat{p}\right)|p\rangle=\hat{p}\hat{f}|p\rangle-\hat{f}\hat{p}|p\rangle =\hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)-\hat{f}\left(\hat{p}|p\rangle\right) \tag{1}$$ Weil $\hat{f}$handeln muss $|p\rangle$bevor du handelst $\hat{p}$darauf. Der erste Term links in der zweiten Zeile (und unter Vernachlässigung von Konstanten) ist wirklich $$\hat{p}\left(\hat{f}|p\rangle\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left( f|p\rangle\right)=\frac{\partial f}{\partial x}|p\rangle+fp|p\rangle\neq pf|p\rangle\tag{2}$$ was du nicht angenommen hast.

(2) scheint korrekt zu sein, da es das Quantenanalog der Poisson-Klammer verwendet , um den Kommutator zu definieren:

$$[\hat{p},\,\hat{f}]=i\hbar\left(\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{x}}\,\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{p}}-\frac{\partial\hat{p}}{\partial\hat{p}}\frac{\partial\hat{f}}{\partial\hat{x}}\right)=-i\hbar\frac{\partial\hat{f}}{\partial x}\tag{3}$$ Weil $\partial\hat{f}/\partial\hat{p}=0$.

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BEARBEITEN

Die richtige Definition des Impulsoperators ist

$$\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$ Durch Anwenden der fehlenden Konstanten auf (2) und Subtrahieren der $fp|p\rangle$Term aus (1) erhalten wir $$-i\hbar\frac{\partial f}{\partial x}$$ was dasselbe ist wie Gleichung (3). Es liegt also kein Paradoxon vor , weil Sie Ihre Operatoren nicht richtig angewendet haben.

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BEARBEITEN 2

Das Problem, das OP hat, liegt in der Verwirrung über Operatorbefehle. Wenn Operatoren auf BHs einwirken, müssen wir den (hermiteschen) Adjungierten der Operatoren nehmen:

$$\langle p|\hat p\hat f|p\rangle=\left(\langle p|\hat f^\dagger\hat p^\dagger\right)|p\rangle\neq \left(\langle p|\hat p\right)\hat f$$ bei Verwendung des mittleren Terms wird eine ähnliche Gleichung wie meine obige Gleichung (2) erhalten (dh Ket wird durch einen BH ersetzt).

Ich glaube, ich habe eine Antwort gefunden, die zumindest für mich zufriedenstellend ist.

Übergangsamplituden von einem Zustand$|a\rangle$in denselben Zustand$|a\rangle$sinnvoll, wenn ich es mit einem gebundenen Zustand zu tun habe, dessen Wellenfunktion quadratisch integrierbar ist. Alle Probleme, auf die ich hingewiesen habe, treten bei gebundenen (quadratisch integrierbaren) Zuständen nicht auf. Wenn ich es dagegen mit einem freien Zustand zu tun habe, dessen Quantenzahl stetig ist, muss ich für den Endzustand einen generell anderen Zustand einsetzen. Ich habe auf Streuprobleme hingewiesen, aber bei Streuproblemen auf den Streuzustand$|p_ f\rangle$gegenüber dem Anfangszustand im Allgemeinen unterschiedlich eingestellt, obwohl ihre Energie manchmal gleich ist.

Man kann auch versucht sein, darüber nachzudenken$\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$als Erwartungswert des Betreibers$V(\hat x)$auf den Staat$|p_i \rangle$. Das sieht aber wieder falsch aus, wenn der Zustand nicht quadratisch integrierbar ist, wie$|p_i \rangle$. Nehmen wir an, wir wollen den Erwartungswert des Operators erhalten$\hat p$auf den Staat$|p_i \rangle$. Wir wollen natürlich, dass das Ergebnis so ist$p_i$. Dies wird nicht passieren, wenn wir den Erwartungswert als schreiben

$$\langle p_i|\hat p|p_i \rangle=p_i\delta(0)=+\infty$$ da die Zustände nicht quadratintegrierbar sind. Das Beste, was wir erreichen können, ist, einen endgültigen anderen Zustand einzufügen und die Verteilung zu erhalten $$\mathcal{D}=\langle p|\hat p|p_i \rangle=p\delta(p-p_i)$$ so dass wir bei der Integration das gewünschte Ergebnis erhalten: $$<p>=\int \mathcal{D} \,d\!p=p_i~,$$ Wo $<p>$bedeutet hier "Mittelwert für p".

Wenn man sich mit Dichtematrizen und Spuren im (x,p)-Quantenraum beschäftigt, muss man meiner Meinung nach auch vorsichtig sein, wenn man das oben Gesagte bedenkt.

Im Allgemeinen sehe ich jetzt keine Notwendigkeit mehr, Elemente des Typs zu berücksichtigen$\langle p_i|V(\hat x)|p_i \rangle$, was auch immer das Potenzial ist, wenn$|p_i\rangle$ist nicht quadratintegrierbar. In der Störungstheorie, die ich am meisten brauche, lautet der erste Term der Dyson-Reihe$\langle p_f|p_i \rangle$und wird auf Null gesetzt, da wir annehmen$p_f \neq p_i$. Wenn wir das nicht annehmen, explodiert alles in der nullten Ordnung ins Unendliche, und das wollen wir nicht.

BEARBEITET :

Um zu betonen, was ich meine, lassen Sie mich meine Gleichungen mit quadrierten integrierbaren Zuständen noch einmal überdenken:

$$\begin{equation} \langle p_i|x\rangle = \frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;,\; \langle x|p_i\rangle = \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\;, \end{equation}$$ Wo $V$ist die Integration 'Volume' in 1D (jemand möchte es vielleicht nennen $V^{1/3}$). Gleichung (1) liest sich wie sie ist, während Gl. (2) lautet nun: $$\begin{equation} \begin{array}{lcl} \langle p_i|i[\hat p, \hat f]|p_i\rangle&=& \hbar\int dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}} \frac{e^{\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}}\frac{e^{-\frac{i}{\hbar}p_i x}}{\sqrt{V}} =\frac{\hbar}{V}\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{e^{- x}}{1+e^{- 2x}}\\ &=&\frac{\hbar}{V}\,\frac{\pi}{2}=0 ~,\qquad (1.1) \end{array} \end{equation}$$ und die Diskrepanz ist weg. Zustände in (1.1) sind wahrscheinlich eine gute Annäherung an einen Gaußschen Zustand mit großer räumlicher Breite, den wir in gewöhnlichen Experimenten erhalten würden. Das erwarte ich daher $\approx 0$ist das Ergebnis, das wir finden würden. Tatsächlich wäre eine rigorose Berechnung mit Gaußschen Zuständen (die quadratisch integrierbar sind) interessant. Wir könnten die räumliche Breite auf große Werte setzen, um zu sehen, wie sich der Erwartungswert verhält. Mal sehen ob ich das in den nächsten Tagen schaffe.