Beziehung zwischen den Determinanten metrischer Tensoren

Meiner Meinung nach ist es besser, in einer explizit kovarianten Form zu arbeiten. In meiner Antwort werde ich zwei verschiedene Definitionen verwenden, die griechischen Indizes laufen immer ab$0$Zu$3$und lateinische Indizes aus$1$Zu$3$und die Metrik$g_{\mu\nu}$Unterschrift hat$(-1,1,1,1)$.

Um die Ausdrücke in eine explizite kovariante Form zu übersetzen, definieren wir ein zeitähnliches Vektorfeld$v^\mu$. Wir können ein angepasstes Koordinatensystem so definieren, dass$v^\mu = \delta^\mu{}_0$und deshalb,

$$g_{00} = g_{\mu\nu}v^\mu{}v^\nu.$$ Es ist jedoch (meiner Meinung nach) besser, nicht in einem solchen Koordinatensystem zu arbeiten, in diesem Fall verwenden wir immer Ausdrücke wie die rechte Seite des obigen, dh $v^2 \equiv g_{\mu\nu}v^\mu{}v^\nu$.

Die projizierte Metrik aus Ihrer Gleichung kann ausgedrückt werden als (wobei ich die Zeichen überarbeitet habe, um meinen Definitionen zu entsprechen)

$$\gamma_{ij} = g_{ij} - \frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}} = g_{ij} - \frac{v^\mu v^\nu g_{\mu i}g_{\nu j}}{v^2} = g_{ij} + \frac{v_i v_j}{\sqrt{-v^2}\sqrt{-v^2}} = g_{ij} + n_i n_j,$$ wo wir natürlich definiert haben, $v_\mu = g_{\mu\nu}v^\nu$und die normalisierte Version von $v^\mu$, dh, $n^\mu \equiv v^\mu/\sqrt{-v^2}$. Beachten Sie, dass wir hier den Rest der Koordinatenbasis eingeführt haben, die durch die Vektorfelder gegeben ist $e_i{}^\mu$so dass $g_{ij} = e_i{}^\mu{}e_j{}^\nu{}g_{\mu\nu}$, $v_i = v_\mu{}e_i{}^\mu$usw. Um die Einführung von Koordinaten zu vermeiden, definieren wir dann den Projektor $$\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + n_\mu{}n_\nu,$$ die sich im angepassten Koordinatensystem auf die räumliche Metrik reduziert und im Allgemeinen als Projektor fungiert $\gamma_{\mu\nu}n^\nu = 0$.

Man kann die Determinante in einem kovarianten Format einführen, indem man den Raum vollständig antisymmetrischer Tensoren vom Typ verwendet$(4,0)$, z.B$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$die in zwei beliebigen benachbarten Indizes antisymmetrisch ist. Wir definieren$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$den Ausdruck verwenden

$$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = -4!,$$ wo die Indizes mit der Metrik gesenkt wurden $g_{\mu\nu}$, das definiert $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$bis zu einem Signal, da der Raum total antisymmetrischer Tensoren eindimensional ist. Anhand der Definition der Determinante in Bezug auf das Levi-Civita-Symbol lässt sich das leicht zeigen (siehe Anhang B von Wald 1984). $$v^\mu{}e_1{}^\nu{}e_2{}^\alpha{}e_3{}^\beta\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = \epsilon_{0123} = \sqrt{-g},$$ Wo $g$ist die Determinante von $g_{\mu\nu}$in der durch gebildeten Koordinatenbasis berechnet $(v^\mu,e_i{}^\mu)$.

Endlich,$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$äußert sich wie folgt,

$$\begin{align} \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}g^{\mu\lambda}g^{\nu\sigma}g^{\alpha\phi}g^{\beta\psi} &= \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}(\gamma^{\mu\lambda}-n^{\mu}n^{\lambda})(\gamma^{\nu\sigma}-n^{\nu}n^{\sigma})(\gamma^{\alpha\phi}-n^{\alpha}n^{\phi})(\gamma^{\beta\psi}-n^{\beta}n^{\psi}), \\ &= -4n^{\mu}n^{\lambda}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}\gamma^{\nu\sigma}\gamma^{\alpha\phi}\gamma^{\beta\psi}, \end{align}$$ wobei wir diese beliebige Kontraktion von zwei verwendet haben $n^\mu$mit $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$ist Null. Jetzt benutze das $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = -4!$, wir erhalten $$n^{\mu}n^{\lambda}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}\gamma^{\nu\sigma}\gamma^{\alpha\phi}\gamma^{\beta\psi} = -v^{-2}\epsilon_{0ijk}\epsilon_{0lmn}\gamma^{il}\gamma^{jm}\gamma^{kn} = 3!,$$ indem wir wieder die Formel der Determinante durch das antisymmetrische Symbol verwenden, erhalten wir $$v^2\gamma = -(\epsilon_{0123})^2 = g \qquad \Rightarrow\qquad -g = -g_{00}\gamma,$$ wobei der Unterschied der Vorzeichen von der unterschiedlichen Signaturdefinition herrührt.

In Bezug auf die Volumenformen ist dieses Ergebnis äquivalent zu

$$\tilde{\epsilon} = -4\tilde{n}\wedge{}^3\tilde{\epsilon},$$ Wo $\tilde{\epsilon}$ist nur die vierbändige Form mit ihren Komponenten gegeben durch $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$Und ${}^3\tilde{\epsilon}$ist die dreidimensional induzierte Volumenform mit ihren Komponenten gegeben durch $n^\mu\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$.

Sie müssen äußerst vorsichtig sein, welche Konventionen Sie verwenden, um Ihre 4-Metrik und Ihre 3-Metrik und Ihren Zeitvektor zu definieren.

Insbesondere wenn Sie Koordinaten verwenden, bei denen Ihre Metrik Komponenten außerhalb der Diagonale hat, achten Sie auf den Wert für Ihre Normaleinheit, und ich würde Ihnen dringend raten, Ihre Slicing-Bedingung als eine Ihrer vier Koordinaten zu wählen, damit Sie es sind Auswahl von Oberflächen aus$\tau =$Konstante.