Versuchen, die Newtonsche Grenze von GR zu verstehen

Question

Versuchen, die Newtonsche Grenze von GR zu verstehen

Alex Zeffert

Erster Beitrag - bitte seien Sie freundlich.

Ich versuche zu verstehen, wie die Allgemeine Relativitätstheorie den Newtonschen Bewegungsgesetzen und dem Newtonschen Gravitationsgesetz im Grenzfall niedriger Geschwindigkeiten und geringer Masse entspricht. Aber ich bin selbst im einfachsten Fall aus dem Ruder gelaufen!

Ich stelle mir einen Satelliten in einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn um einen Planeten vor. Es sollte möglich sein, Koordinaten auszuwählen $t,\theta,\phi,r$ so dass $r,\phi$ und die metrischen Werte $g_{\theta\theta},g_{tt},g_{t\theta}$ entlang der Umlaufbahn konstant sind.

Jetzt lassen $dt$ fixiert werden, nach dem, was ich verstanden habe GR sagt, dass der Satellit entlang einer Geodätischen bewegt, dh einer Bahn, für die das Linienelement $ds$ ist optimiert, wobei:

D S^{2} = C^{2} D τ^{2} = D T^{2} G_{T T} + D θ^{2} G_{θ θ} + 2 D T D θ G_{T θ}

$ds^2 = c^2 d\tau^2 = dt^2 g_{tt} + d\theta^2 g_{\theta\theta} + 2 dt d\theta g_{t\theta}$

Ich dachte, dass es möglich sein sollte, dies zu lösen und die Winkelgeschwindigkeit zu berechnen $\omega$ des Satelliten in Bezug auf $g$ . Also habe ich das obige umgeschrieben als

D S^{2} = D T^{2} (G_{T T} + ω^{2} G_{θ θ} + 2 ω G_{T θ})

$ds^2 = dt^2 (g_{tt}+\omega^2 g_{\theta\theta} + 2\omega g_{t\theta})$

und dann fand ich das Maximum durch Differenzieren bzgl $\omega$ und auf 0 setzen:

0 = 2 ω G_{θ θ} + 2 G_{T θ}

$0 = 2 \omega g_{\theta\theta} + 2 g_{t\theta}$

dh

ω = - \frac{G_{T θ}}{G_{θ θ}}

$\omega = -\frac{g_{t\theta}}{g_{\theta\theta}}$

Aber ich muss irgendwo in meiner Argumentation einen Fehler gemacht haben, da es zwei Lösungen für gibt $\omega$ in Newtons Theorie (Sie können im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn umkreisen), aber das Obige gibt nur einen.

Marius Matutiae

Tipp: Warum denkst du das?

g_{t θ} \neq 0

$g_{t\theta} \neq 0$ ???

Alex Zeffert

Wenn

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta} =0$ würdest du auch nicht bekommen

ω = 0

$\omega = 0$ oder

ω = \infty

$\omega = \infty$ (je nachdem ob

g_{θ θ}

$g_{\theta\theta}$ ist positiv oder negativ)? Keine von beiden entspricht der Newtonschen Lösung.

fqq

null dividiert durch eine negative Zahl ist immer noch null, nicht unendlich

Alex Zeffert

Ja, Null wäre die richtige Lösung für den stationären Punkt von

d s^{2} (ω)

$ds^2(\omega)$ , aber das kann ein Minimum sein, kein Maximum.

Marius Matutiae

Tipp 2: Das liegt nur daran, dass du nicht richtig minimierst...

Alex Zeffert

Ah. Wenn ich minimiere

d s

$ds$ anstatt

d s^{2}

$ds^2$ und annehmen

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta}=0$ Ich bekomme

0 = \frac{ω g_{θ θ}}{\sqrt{g_{t t} + g_{θ θ} ω^{2}}}

$0 = \frac{\omega g_{\theta\theta}}{\sqrt {g_{tt}+g_{\theta\theta}\omega^2}}$ was eigentlich optimiert ist, wenn

ω = \pm \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\omega =\pm\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ Ist das nah?

Alex Zeffert

Verschrotte das. Was ich gerade geschrieben habe, war Unsinn. Die Lösung wäre immer noch Null. Ich kann nicht glauben, dass es nur Kalkül ist, an dem ich hängen bleibe. (Obwohl es lange her ist, habe ich es an der Uni gemacht.)

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/211930/2451 und Links darin.

Alex Zeffert

Das einzige, was ich sehen kann, ist, dass wenn

g_{t θ} = 0

$g_{t\theta} = 0$ dann müssen wir haben

| ω | < \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\left|\omega \right | < \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ für

d s

$ds$ ein gültiges zeitähnliches Liniensegment sein. Das deutet darauf hin

\pm \sqrt{\frac{- g_{t t}}{g_{θ θ}}}

$\pm \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ als Lösung. Aber das ist nicht ganz richtig, da diese Werte geben würden

d s = 0

$ds = 0$ und die Geodäte sollte die Eigenzeit optimieren, nicht minimieren. Immer noch verwirrt. PS: Eigentlich keine Hausaufgaben – das habe ich seit 20 Jahren nicht mehr gemacht!

Alex Zeffert

Ich glaube, ich verstehe jetzt - ich hatte die falsche Prämisse. Die Geodäte ist der Pfad, der optimiert

\int_{t_{0}, θ_{0}}^{t_{1}, θ_{1}} d s

$\int_{t_0,\theta_0}^{t_1,\theta_1} ds$ . Also sollte ich Start- und Endwerte für meine Koordinaten wählen und dann nach dem richtigen Pfad zwischen ihnen suchen. Was ich jedoch getan habe, war, Start- und Endwerte von auszuwählen

t

$t$ nur und fragen, was die Änderung in

θ

$\theta$ wäre - was nicht so funktionieren soll.

Antworten (1)

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Wenn $g_{t\theta} =0$ würdest du auch nicht bekommen $\omega = 0$ oder $\omega = \infty$ (je nachdem ob $g_{\theta\theta}$ ist positiv oder negativ)? Keine von beiden entspricht der Newtonschen Lösung.
null dividiert durch eine negative Zahl ist immer noch null, nicht unendlich
Ja, Null wäre die richtige Lösung für den stationären Punkt von $ds^2(\omega)$ , aber das kann ein Minimum sein, kein Maximum.
Tipp 2: Das liegt nur daran, dass du nicht richtig minimierst...
Ah. Wenn ich minimiere $ds$ anstatt $ds^2$ und annehmen $g_{t\theta}=0$ Ich bekomme $0 = \frac{\omega g_{\theta\theta}}{\sqrt {g_{tt}+g_{\theta\theta}\omega^2}}$ was eigentlich optimiert ist, wenn $\omega =\pm\sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ Ist das nah?
Verschrotte das. Was ich gerade geschrieben habe, war Unsinn. Die Lösung wäre immer noch Null. Ich kann nicht glauben, dass es nur Kalkül ist, an dem ich hängen bleibe. (Obwohl es lange her ist, habe ich es an der Uni gemacht.)
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/211930/2451 und Links darin.
Das einzige, was ich sehen kann, ist, dass wenn $g_{t\theta} = 0$ dann müssen wir haben $\left|\omega \right | < \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ für $ds$ ein gültiges zeitähnliches Liniensegment sein. Das deutet darauf hin $\pm \sqrt{\frac{-g_{tt}}{g_{\theta\theta}}}$ als Lösung. Aber das ist nicht ganz richtig, da diese Werte geben würden $ds = 0$ und die Geodäte sollte die Eigenzeit optimieren, nicht minimieren. Immer noch verwirrt. PS: Eigentlich keine Hausaufgaben – das habe ich seit 20 Jahren nicht mehr gemacht!
Ich glaube, ich verstehe jetzt - ich hatte die falsche Prämisse. Die Geodäte ist der Pfad, der optimiert $\int_{t_0,\theta_0}^{t_1,\theta_1} ds$ . Also sollte ich Start- und Endwerte für meine Koordinaten wählen und dann nach dem richtigen Pfad zwischen ihnen suchen. Was ich jedoch getan habe, war, Start- und Endwerte von auszuwählen $t$ nur und fragen, was die Änderung in $\theta$ wäre - was nicht so funktionieren soll.

Alex Zeffert · Answer 1

Ich bin mir über die Etikette nicht sicher, aber ich denke, ich kann jetzt meine eigene Frage beantworten. Bitte posten, wenn es eine bessere Antwort gibt.

Das Problem ist, dass ich die Bedeutung der Aussage "der Geodätische ist der Pfad, der die Eigenzeit optimiert" falsch verstanden habe. Dies bedeutet, dass beispielsweise zwei Endpunkte gegeben sind $x_0^\alpha$ Und $x_1^\alpha$ Eine Geodäte ist ein Pfad $x^\alpha(\lambda)$ damit befriedigt

$x^\alpha(\lambda_0) = x_0^\alpha$

$x^\alpha(\lambda_1) = x_1^\alpha$

für einige $\lambda_0, \lambda_1$ und optimiert

$\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}ds = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1}\sqrt{g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta}$

Was ich jedoch tat, war, eine Koordinate der Endpunkte zu variieren, anstatt die Endpunkte zu fixieren und den Pfad zu variieren.

Ich denke, die Schwierigkeit besteht darin, die Denkweise von einer Newtonschen (Sie wissen, wo Sie sind und Ihre Geschwindigkeit - jetzt herausfinden, wo Sie sein werden) zu einer Lagrangeschen (?) (Sie wissen, wo Sie beginnen und enden - finden Sie es jetzt heraus) zu ändern eingeschlagener Weg).

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