Wie können wir das Newtonsche Gravitationspotential aus der Metrik der Allgemeinen Relativitätstheorie zurückgewinnen?

Da die Allgemeine Relativitätstheorie eine Theorie sein soll, die die Newtonsche Gravitation überwindet, erwartet man sicherlich, dass sie die Ergebnisse der Newtonschen Gravitation reproduzieren kann. Es ist jedoch nur vernünftig, so etwas in einem angemessenen Rahmen zu erwarten . Da die allgemeine Relativitätstheorie eine große Klasse von Situationen beschreiben kann, die die Newtonsche Gravitation nicht kann, ist es nicht vernünftig zu erwarten, eine Newtonsche Beschreibung für beliebige Raumzeiten zu erhalten.

Unter geeigneten Annahmen gewinnt man jedoch die Newtonsche Beschreibung der Materie zurück. Dies wird (aus offensichtlichen Gründen) als Nehmen der Newtonschen Grenze bezeichnet. Tatsächlich wurde es von Einstein selbst verwendet, um die Konstanten festzulegen, die in den Einstein-Feldgleichungen erscheinen (beachten Sie, dass ich festlegen werde$c\equiv 1$hindurch).

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$$

Die Forderung, dass die allgemeine Relativitätstheorie die Newtonsche Schwerkraft in der entsprechenden Grenze reproduziert, legt die Konstante eindeutig fest$\kappa\equiv 8\pi G$. Dieses Verfahren wird auch in den meisten (Einführungs-)Büchern zur Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben. Lassen Sie uns nun sehen, wie man das Newtonsche Potential aus der Metrik erhält.

Definition der Newtonschen Grenze

Wir müssen zuerst feststellen, in welcher Situation wir erwarten würden, die Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Teilchen zu erhalten. Zunächst einmal ist klar, dass wir fordern sollten, dass sich das betrachtete Teilchen mit Geschwindigkeiten bewegt, die weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegen. In Gleichungen wird dies durch Erfordernis formalisiert

$$\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}\tau}\ll \frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau} \tag{1}$$

wo die Raumzeitkoordinaten des Teilchens sind$x^\mu=(x^0,x^i)$und$\tau$ist die richtige Zeit. Zweitens müssen wir eine Situation berücksichtigen, in der das Gravitationsfeld "nicht zu verrückt" ist, was auf jeden Fall bedeutet, dass es sich nicht zu schnell ändern sollte. Wir werden genauer machen, wie

$$\partial_0 g_{\mu\nu}=0\tag{2}$$

dh die Metrik ist stationär . Außerdem benötigen wir ein schwaches Gravitationsfeld, um sicherzustellen, dass wir im Newtonschen Regime bleiben. Das bedeutet, dass die Metrik „fast flach“ ist, das heißt:$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$wo$h_{\mu\nu}$ist eine kleine Störung, und$\eta_{\mu\nu}:=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ist die Minkowski-Metrik. Die Bedingung$g_{\mu\nu}g^{\nu\rho}=\delta^\rho_\mu$impliziert, dass$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$, zur Erstbestellung$h$, wo wir definiert haben$h^{\mu\nu}:=\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}$$^1$. Dies lässt sich einfach per „plug-and-chug“ überprüfen.

Nehmen Sie die Newtonsche Grenze

Wenn wir nun die Bewegungsgleichung eines Teilchens wiederherstellen wollen, sollten wir uns die entsprechende Gleichung in der Allgemeinen Relativitätstheorie ansehen. Das ist die geodätische Gleichung

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^\rho}{\mathrm{d}\tau}=0$$

Jetzt müssen wir nur noch unsere Annahmen verwenden. Zuerst verwenden wir die Gleichung$(1)$und sehen das nur die$00$-Komponente des zweiten Terms beiträgt. Wir erhalten

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu_{00}\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}=0$$

Aus der Definition der Christoffel-Symbole

$$\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}:=\frac{1}{2}g^{\mu\sigma}(\partial_{\nu}g_{\rho\sigma}+\partial_\rho g_{\nu\sigma}-\partial_\sigma g_{\nu\rho})$$

Wir sehen das, nachdem wir die Gleichung verwendet haben$(2)$, die einzigen relevanten Symbole sind

$$\Gamma^{\mu}_{00}=-\frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\partial_\sigma g_{00} \textrm{.}$$

Verwenden Sie die Annahme eines schwachen Felds und halten Sie nur Terme erster Ordnung in$h$, das erhalten wir aus der einfachen Algebra

$$\Gamma^{\mu}_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}\partial_\sigma h_{00}$$

was uns mit der vereinfachten geodätischen Gleichung belässt

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}\partial_\sigma h_{00}\bigg(\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}\bigg)^2$$

Wieder mit Gleichung$(2)$zeigt, dass die$0$-Komponente dieser Gleichung lautet einfach$\ddot{x}^0=0$(wobei der Punkt die Differenzierung nach bezeichnet$\tau$), also bleiben uns nur die nicht-trivialen, räumlichen Komponenten:

$$\ddot{x}^i=\frac{1}{2}\partial_i h_{00}$$

was der Newtonschen Bewegungsgleichung verdächtig ähnlich sieht

$$\ddot{x}^i=-\partial_i\phi$$

Nach der natürlichen Identifikation$h_{00}=-2\phi$, sehen wir, dass sie genau gleich sind. Somit erhalten wir$g_{00}=-1-2\phi$, und haben das Newtonsche Potential in Bezug auf die Metrik ausgedrückt.

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1. Für eine schnelle 'n' dirty Herleitung gehen wir von einer Erweiterung der Form aus$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\alpha \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}+\mathcal{O}(h^2)$(Beachten Sie, dass die Multiplikation mit$\eta$'s ist das einzig Mögliche, was wir tun können, ohne einen Begriff zweiter Ordnung zu erhalten), und stecken Sie ihn einfach in die im Beitrag angegebene Beziehung:

$$(\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu})\big(\eta^{\mu\nu}+\alpha \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}+\mathcal{O}(h^2)\big)=\delta^\mu_\rho \Leftrightarrow \alpha=-1$$

Sie vermischen leicht zwei verschiedene Dinge. Das eine ist die Bewegungsgleichung für ein Teilchen und das andere die Bewegungsgleichung für die Metrik. Die kurze Antwort auf Ihre Frage lautet, dass die Schwerkraft die Metrik beeinflusst und die Metrik dann die Bewegung der Partikel beeinflusst. Daher müssen Sie zwei Gleichungssysteme lösen, ersteres zuerst, letzteres dann.

Einsteins Gleichungen beziehen die Metrik auf das Vorhandensein von Energie und Materie an irgendeinem Punkt im Universum als

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}\tag{1}$$ wobei die rechte Seite alles enthält, was Gravitationsfelder erzeugen kann. Beachten Sie en passant, dass zusätzliche Beiträge auf der linken Seite als vorhanden sein können $g_{\mu\nu}\Lambda$, aber das führt aus dem Thema heraus. Allerdings ist die Lösung zu $(1)$ist eine Metrik $g_{\mu\nu}(x,t)$an jedem Punkt in Raum und Zeit. Sobald Sie eine solche Metrik haben, schließen Sie sie an, um die Levi-Civita-Verbindungskoeffizienten abzuleiten $\nabla_j e_k = \Gamma^i_{\phantom{i}jk}e_i$wie $$\Gamma^i_{\phantom{i}jk}=\frac{1}{2}g^{ir}\Big(\partial_k g_{rj} + \partial_j g_{rk}-\partial_r g_{jk}\Big).\tag{2}$$ Nachdem Sie die Levi-Civita-Verbindungen gem $(2)$, verwenden Sie sie in der Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen, das sich entlang der Geodäten einer Metrik bewegt $g$: $$\ddot{x}^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu\lambda}\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\lambda}=0$$ wobei die Ableitung in Bezug auf die Pfadlänge genommen wird $x^{\mu}(s)$.

Als Beispiel, wenn Sie lösen$(1)$Verwenden Sie den Spannungs-Energie-Tensor für ein Punktteilchen, das weit vom Beobachter entfernt ist, und stecken Sie die resultierende Metrik ein$(2)$und dann die Bewegungsgleichungen lösen, erhalten Sie genau das Standard-Newtonsche Gesetz für ein Teilchen in einem sphärischen Potential.

Danus Antwort ist wunderbar geschrieben. Nur um ein bisschen mehr zum allerletzten Teil von Danus Antwort auf die natürliche Identifizierung hinzuzufügen$h_{00}=-2\phi$. Die vollständige Metrik in der Newtonschen Grenze kann tatsächlich einfach unter Verwendung der linearisierten Einstein-Gleichungen berechnet werden, und durch dieselbe Berechnung können Sie sogar einen Ausdruck für erhalten$\phi$das stimmt mit der üblichen Newtonschen Rechnung überein.

Die linearisierten Einstein-Gleichungen (in der de-Donder-Eichung ) können geschrieben werden als

$$\square h _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \square h \eta _ { \mu \nu } = - 16 \pi G T _ { \mu \nu }$$

und definieren$\bar { h } _ { \mu \nu } = h _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } h \eta _ { \mu \nu }$wir erhalten den einfachen Ausdruck

$$\square \bar { h } _ { \mu \nu } = - 16 \pi G T _ { \mu \nu }$$

was völlig äquivalent zu denen von @Danu und @gented ist, aber wenn wir eine einfache stationäre Materiekonfiguration wie eine Punktmasse nehmen,$M$, zentriert am Ursprung:

$$T_{00} = M \delta^{(3)}(\mathbf{x}) \\ T_{ij} = 0 \ \forall \ i,j=1,2,3$$

Wir können die Einstein-Gleichungen leicht lösen, da sie sich auf die einfachen Wellengleichungen reduzieren:

$$\nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { 00 } = - 16 \pi G M \delta^{(3)}(\mathbf{x}) \quad \text { and } \quad \nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { 0 i } = \nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { i j } = 0$$

Die Lösung der Metrik lautet also (nach Einsetzen der passenden Definitionen von$g_{\mu\nu}$,$h_{\mu\nu}$und$\bar{h}_{\mu\nu}$)

$$d s ^ { 2 } = - ( 1 + 2 \phi ) d t ^ { 2 } + ( 1 - 2 \phi ) d \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x }$$

mit$\phi = \frac{-GM}{r}$wie wir alle wissen und lieben.

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Bezug:

• David Tong's Lectures on General Relativity Seite 203: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html