Hilfe bei der Newtonschen Gravitation als Grenzfall der Allgemeinen Relativitätstheorie

In Schutz sagt, wenn wir schwache Gravitationsfelder haben, dann ist das Linienelement ds

D S 2 = − ( 1 + 2 ϕ ) D T 2 + ( 1 − 2 ϕ ) ( D X 2 + D j 2 + D z 2 )
so ist die Metrik
G a β = η a β + H a β = ( − ( 1 + 2 ϕ ) 0 0 0 0 ( 1 − 2 ϕ ) 0 0 0 0 ( 1 − 2 ϕ ) 0 0 0 0 ( 1 − 2 ϕ ) )
Wo
ϕ = M R
h ist also

H a β = ( − 2 ϕ 0 0 0 0 − 2 ϕ 0 0 0 0 − 2 ϕ 0 0 0 0 − 2 ϕ )
das Element

H 00 = − 2 ϕ

und die Elemente außerhalb der Diagonalen sind Null, weil die Bedingung schwache Gravitationsfelder impliziert

T ich , J = 0

aber ich verstehe es nicht wie im Buch

H X X = H j j = H z z = − 2 ϕ

Ich glaube, sie verwenden die Definition von Trace Reverse

H ¯ a β = H a β − 1 2 η a β H
und die Trace -Definition

H = H a a
aber wie machen sie das? Was fehlt mir?

Der Fall, den Sie betrachten, ist der Grenzfall der Schwarzschild-Lösung, die axialsymmetrisch ist, also folgt das Ergebnis.

Antworten (1)

Bei der Störungstheorie in GR ist es üblich, eine spurumgekehrte Metrik zu definieren H ¯ und wählen Sie zum Beispiel eine bestimmte Spurweite aus ∂ μ H ¯ μ v = 0 , so dass sich Einsteins Gleichungen auf reduzieren ∂ ρ ∂ ρ H ¯ μ v = − 16 π T μ v .

Sie wissen, dass Sie einige Annahmen bezüglich Ihrer Materiequellen treffen müssen – für die Newtonsche Grenze nehmen Sie an, dass Ihre Materie nicht-relativistisch (dh fast stationär) ist T μ v << T 0 0 , und von den linearisierten Feldgleichungen gilt dasselbe für H ¯ μ v (dh H ¯ 0 0 >> H ¯ ich J ).

Daher für die Spur, die wir erhalten H = − H ¯ = − η μ v H ¯ μ v = H ¯ 00 + S M A l l .

Aber auch wir haben H ich J = H ¯ ich J − 1 2 η ich J H ¯ (aus der Umkehrung der Definition der spurumgekehrten Metrik) und daher H ich J = − 2 Φ δ ich J . (damit verwenden H 00 = − 2 Φ ist äquivalent zu H ¯ 00 = 2 H 00 = − 4 Φ , aus der Definition der Trace-umgekehrten Metrik.)

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