Bleiben relativistischer Impuls und relativistische Masse in der speziellen Relativitätstheorie erhalten?

Angenommen, zwei Objekte kollidieren und vereinigen sich zu einem einzigen Objekt, bleiben der relativistische Gesamtimpuls und die relativistische Masse gleich? Ich habe in meinem Physik-Lehrbuch der 12. Klasse gelesen, dass relativistisches Moment als definiert werden kann | relativistisches Momentum | = Menge, die übrig bleibt × v 1 − v 2 C 2 und relativistische Masse kann definiert werden als relativistische Masse = Menge, die übrig bleibt 1 − v 2 C 2 . Die Gesamtruhemasse hingegen muss nicht zwangsläufig gleich bleiben. Zum Beispiel könnte die Kollision das kombinierte System aufheizen und die schneller schwingenden Atome könnten stärkere relativistische Effekte haben, was dem kombinierten System auf makroskopischer Ebene mehr Trägheit verleiht, also definieren wir es als eine höhere Ruhemasse.

Nehmen wir an, dass sich jeder beliebige Bezugsrahmen, zwei nicht rotierende Objekte mit beliebiger positiver Ruhemasse und beliebiger subluminaler Geschwindigkeit, wenn sie sich in einem solchen Winkel verbinden, dass sich das kombinierte System auch nicht dreht, immer zu einem Objekt mit derselben Ruhemasse verbinden und Geschwindigkeit. Nehmen wir außerdem an, dass der relativistische Impuls und die relativistische Masse eine Funktion der Ruhemasse und der subluminalen Geschwindigkeit sind, so dass:

  • Für jede subluminale Geschwindigkeit ändern sich relativistischer Impuls und relativistische Masse linear mit der Ruhemasse.
  • Der relativistische Impuls ist in Richtung der Geschwindigkeit für eine subluminale Geschwindigkeit ungleich Null.
  • Die relativistische Masse und die Größe des relativistischen Impulses variieren nicht zwischen zwei beliebigen Geschwindigkeiten mit der gleichen Größe.
  • Die relativistische Masse eines Objekts bei einer Geschwindigkeit von Null ist seine Ruhemasse, und für jede Ruhemasse nähert sich, wenn sich seine Geschwindigkeit Null nähert, sein relativistischer Impuls geteilt durch seine Geschwindigkeit seiner Ruhemasse.
  • Immer wenn sich zwei nicht rotierende Objekte zu einem einzigen nicht rotierenden Objekt verbinden, bleiben die relativistische Gesamtmasse und der relativistische Impuls erhalten.

Nachdem ich viel Arbeit geleistet hatte, fand ich in meinem Kopf einen mathematischen Beweis dafür, dass in mehr als einer Dimension die einzige Lösung für diese Kriterien ist:

  • relativistische Masse = Menge, die übrig bleibt 1 − v 2 C 2 Wo v ist die Geschwindigkeit des Objekts, nicht die Geschwindigkeit und C ist die Lichtgeschwindigkeit.
  • Der relativistische Impuls bei einer Geschwindigkeit von Null ist Null und für eine subluminale Geschwindigkeit ungleich Null ist der relativistische Impuls in Richtung der Geschwindigkeit und | relativistischer Impuls | = Menge, die übrig bleibt × v 1 − v 2 C 2
  • Für 2 nichtrotierende Objekte mit beliebiger positiver Ruhemasse und subluminaler Geschwindigkeit, die sich zu einem einzigen nichtratierenden Objekt kombinieren, können die Ruhemasse und -geschwindigkeit des Systems wie folgt bestimmt werden: Berechnen Sie die relativistische Masse und den relativistischen Impuls jedes Objekts und addieren Sie sie, um die zu erhalten relativistische Masse und relativistischer Impuls des kombinierten Systems berechnen dann die Ruhemasse und -geschwindigkeit des kombinierten Systems aus seiner relativistischen Masse und seinem relativistischen Impuls unter Verwendung der Formeln für relativistische Masse und relativistischen Impuls. Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir Menge, die übrig bleibt = relativistische Masse 2 − | relativistischer Impuls | C 2 Und Geschwindigkeit = relativistischer Impuls relativistische Masse für relativistischen Impuls ungleich Null und Menge, die übrig bleibt = relativistische Masse für relativistischen Impuls Null.

Woher wissen wir, dass das Ergebnis, das ich gerade bewiesen habe, tatsächlich richtig ist? Ich habe nicht bewiesen, dass die ursprünglichen Kriterien, aus denen ich dieses Ergebnis abgeleitet habe, korrekt sind. Dieses Problem kann gelöst werden, indem entschieden wird, dass die spezielle Relativitätstheorie per Definition die relativistische Masse und den relativistischen Impuls so definiert, dass sie der Funktion folgen, der sie im drittletzten und vorletzten Aufzählungspunkt gezeigt wurden, und vorhersagt, dass, wenn sich jemals zwei nicht rotierende Objekte zu einem einzigen nicht rotierenden Objekt verbinden Objekts ist die Ruhemasse und Geschwindigkeit des kombinierten Systems tatsächlich so bestimmt, wie es gemäß dem letzten Aufzählungspunkt ist. Auch mithilfe von Mathematik können wir zeigen, dass diese Vorhersage gemäß der Theorie tatsächlich eine Lösung für die ursprünglichen Kriterien ist, und es ist tatsächlich einfacher zu zeigen, dass es eine Lösung ist, als dass nur sie eine Lösung sein kann.

Es ist leicht zu zeigen, dass subluminale Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie durch Punkte auf einer hyperbolischen Ebene dargestellt werden können. Wenn Sie nun einen Minkowski-Raum haben und für ein Objekt mit einer gegebenen Ruhemasse und einer beliebigen subluminalen Geschwindigkeit einen Punkt in diesem Minkowski-Raum zeichnen, an dem die Zeitkoordinate seine relativistische Masse und die räumlichen Koordinaten seinen relativistischen Impuls darstellen, erhalten Sie eine Funktion von subluminalen Geschwindigkeiten zu einer Ebene in diesem Minkowski-Raum, die alle den gleichen Abstand vom Ursprung haben und daher eine hyperbolische Geometrie haben, und jede Geschwindigkeit entspricht genau dem Punkt in dieser hyperbolischen Ebene, den sie wie zuvor beschrieben darstellt. Daraus lässt sich leicht zeigen, dass in jedem Bezugsrahmen

Nun, in der realen Welt gilt für ein bestimmtes Material, je heißer es ist, desto mehr Ruhemasse hat es pro Atom, und für ein nicht schwingendes rotierendes Objekt ist seine Ruhemasse als das dreifache Integral der relativistischen Dichte von definiert jeder Teil im Referenzrahmen, in dem das Objekt keine Gesamtbewegung hat und die relativistische Dichte jedes Teils definiert ist als relativistische Dichte = Ruhedichte 1 − v 2 C 2 und seine relativistische Masse in jedem Bezugssystem ist auf die gleiche Weise definiert, und es stellt sich auch heraus, dass selbst für ein sich drehendes Objekt relativistische Masse = Menge, die übrig bleibt 1 − v 2 C 2 ? Ist es auch so, dass sich immer, wenn sich zwei Objekte mit einer bestimmten Ruhemasse und Geschwindigkeit kombinieren, unabhängig von der Quelle, unabhängig von der Quelle, unabhängig davon, ob sie sich vor oder nach der Kollision drehen oder nicht, immer zu einem Objekt mit der zuvor vorhergesagten Ruhemasse und Geschwindigkeit verbinden? Wie viel seiner Ruhemasse stammt aus thermischer Energie und wie viel davon aus kinetischer Energie beim Drehen? Vielleicht kann eine Quantentheorie, die die Schwerkraft nicht einschließt, vorhersagen, ob das der Fall ist oder nicht.

\textWas das Markup betrifft, sollten Sie es zum Setzen von Klartextanweisungen in mathematischen Ausdrücken verwenden (aber Sie werden feststellen, dass es sich visuell nicht von nicht mathematischem Text unterscheidet und daher nicht gut inline funktioniert), und beachten Sie, dass das ein Argument \sqrtakzeptiert umgeben von geschweiften Klammern, {}um dem Programm mitzuteilen, wie groß/lang der Ausdruck sein soll.
@dmckee Ich wusste nicht, wie ich das Quadratwurzelzeichen länger machen sollte, also habe ich es so gemacht, dass Klammern in der Frage visuell erscheinen, um anzuzeigen, auf welchen Teil des Ausdrucks die Quadratwurzeloperation angewendet werden sollte. Jetzt weiß ich, wie ich das Quadratwurzelzeichen selbst über den Teil des Ausdrucks gehen lassen kann, den ich haben möchte.
Was die Physik betrifft, möchte ich anmerken, dass diese Art von Fragen in der modernen Nomenklatur viel einfacher sind, wo es nur eine Masse gibt und wir nichts angeben γ M ein Name. Siehe physical.stackexchange.com/q/133376 (und viele andere Fragen auf der Website) für einige Diskussionen zu diesem Thema
@dmckee Müssen wir nicht das Konzept der Ruhemasse verwenden, um die Energieerhaltung zu beweisen. Diese Frage beweist die Erhaltung der Ruhemasse, und wenn wir darauf bestehen, dass die zusätzliche relativistische Masse und die Newtonsche kinetische Energie dasselbe sind, können wir daraus ableiten E = M C 2 . Es stellt sich heraus, dass ein Elektron und ein Positron auch in Energiephotonen vernichten M C 2 auch wenn diese Ableitung nicht beweist, dass sie es tun. Ich vermute, dass wir als Ergebnis all dieser Entdeckungen relativistische Energie jetzt als relativistische Energie definieren M C 2 1 − v 2 C 2
„Müssen wir nicht das Konzept der Ruhemasse verwenden, um die Energieerhaltung zu beweisen?“ Absolut nicht. Trotz ihrer Bedeutung in Pop-Sci-Behandlungen ist relativistische Masse sowohl unnötig als auch eine Einladung zu falschem Denken. Verstehen Sie, dass es immer mehrere Möglichkeiten gibt, über physikalische Theorien zu sprechen, denen dieselbe Mathematik zugrunde liegt, und dass sie alle intern konsistent sein können, aber Sie können in Schwierigkeiten geraten, wenn Sie die Nomenklaturen mischen, wenn Sie nicht sehr vorsichtig sind. In der modernen Nomenklatur E = ( M C 2 ) 2 + ( P → C ) 2 = γ M C 2 (Hier M ist die invariante Masse AKA die Ruhemasse).
In Ihrer langen Frage beschreiben Sie, was in jedem Lehrbuch der Relativitätstheorie steht. Es ist großartig, dass Sie bestimmte Konzepte selbst ableiten können, aber warum lesen Sie nicht einfach ein Lehrbuch, bevor Sie online ausführliche Theorien darüber veröffentlichen, was bereits seit über einem Jahrhundert bekannt ist? Relativistische Masse ist Energie, daher läuft Ihre Frage darauf hinaus, ob Energie und Impuls in der Relativitätstheorie erhalten bleiben oder nicht. Ja, das tun sie gemäß den Naturschutzgesetzen. Lassen Sie auch "subluminal" fallen. Es ist standardmäßig vorgegeben. Viel Glück!
@safesphere Ich habe diesen Physikkurs der 12. Klasse in dem Schuljahr belegt, das 2006 endete. Ich glaube, es war Nelson Physics 12. Ich habe nie das ganze Buch gelesen, daher weiß ich nicht, ob dies in den Highschool-Lehrbüchern zu dieser Zeit nicht der Fall war unterrichte das.

Antworten (2)

"Angenommen, zwei Objekte kollidieren und vereinigen sich zu einem einzigen Objekt, bleiben der relativistische Gesamtimpuls und die relativistische Masse gleich?"

Die Antwort ist "ja", oder besser gesagt, ihre Summen über das Körpersystem bleiben gleich, aber ich würde Ihnen raten, den Begriff relativistische Masse nicht mehr zu verwenden . Es wird aus einer Reihe guter Gründe nicht mehr verwendet, mit denen ich Sie jetzt nicht langweilen werde.

M γ C 2 wobei m die Masse des Körpers (früher „Ruhemasse“ genannt) die Summe der inneren Energie des Körpers darstellt, M C 2 und seine kinetische Energie ( γ M − M ) C 2 . Für ein geschlossenes System bleibt also seine Summe über die Körper des Systems bei elastischen oder unelastischen Stößen erhalten. Denk an γ M als Gesamtenergie des Körpers , ausgedrückt in Masseneinheiten.

Das Schöne daran ist, dass die Gesamtenergie eines Körpers (geteilt durch die bloße Konstante c ) und die drei Komponenten seines Impulses ( M γ u X , M γ u j , M γ u z ) Bilden Sie einen 4-Komponenten-Vektor (oder 4-Vektor): ( M γ C , M γ u X , M γ u j , M γ u z ) . Für ein geschlossenes System bleibt also trotz elastischer oder unelastischer Stöße die Vektorsumme dieser Vektoren erhalten, dh die Summen jeder Komponente getrennt. Ein konservierter 4-Vektor befasst sich mit der Energieerhaltung und der Impulserhaltung.

Beachten Sie auch, dass der Modul des 4-Vektors, definiert als ( M γ C ) 2 − ( M γ u X ) 2 − ( M γ u j ) 2 − ( M γ u z ) 2 , ist einfach M C , die Masse des Körpers multipliziert mit der bloßen Konstante c .

M ist eine Konstante für den Körper (vorausgesetzt, wir manipulieren den Körper nicht, zB indem wir seine innere Energie verändern!) und variiert nicht von Frame zu Frame. Es ist eine Lorentz-Invariante. [Achtung: Die Summe der Massen (Ruhemassen) von Körpern in einem System hat keine offensichtliche Bedeutung; es ist sicher nicht die Masse (Ruhemasse) des Systems!]

Ich habe länger weitergemacht, als ich hätte tun sollen. Es ist alles so wunderbar. Eine klassische Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie, erstklassige Konzepte, ist Spacetime Physics von Taylor und Wheeler.

Wenn ich die Verwendung des Ausdrucks „relativistische Masse“ lasse und die Gleichungen, die sie beschreiben, durch die folgenden Gleichungen ersetze, die relativistische Energie beschreiben: Relativistische Energie ist eine Funktion der Ruhemasse und -geschwindigkeit und bleibt erhalten, wenn zwei Objekte kollidieren und sich zu einem verbinden; für jede gegebene Ruhemasse variiert die relativistische Energie nicht zwischen zwei Geschwindigkeiten mit der gleichen Größe; für jede Geschwindigkeit variiert die relativistische Energie linear mit der Ruhemasse; und die Änderung der relativistischen Energie nähert sich der Änderung an 1 2 M v 2 für niedrige Drehzahlen; dann können wir ableiten E = M C 2 für ein ruhendes Objekt.
Ja, ich denke, was Sie gesagt haben, ist genau richtig für "Änderung der relativistischen Energie nähert sich der Änderung an 1 2 M v 2 für niedrige Geschwindigkeiten". Die Energie kann sich aufgrund einer Änderung der Ruhemasse ändern. Was Sie C A N sagen, ist das relativistische KE , ( ( γ − 1 ) M C 2 ), nähert sich an 1 2 M v 2 bei niedrigen Drehzahlen. Was das Ableiten angeht E = M C 2 Für ein ruhendes Objekt gibt es mehrere Möglichkeiten, dies zu erreichen. Vor allem möchte ich Sie dringend bitten, ein Buch wie Taylor/Wheeler zu lesen. Der vierdimensionale Raum-Zeit-Ansatz macht alles so viel einfacher und natürlicher.
Ich dachte, eine Änderung der relativistischen Energie entspricht einer Änderung in 1 2 M v 2 für niedrige Geschwindigkeiten, wenn sich die Ruhemasse nicht ändert, aber dann vergessen, das zu schreiben. Ich glaube, ich hatte am Ende nicht genug Charaktere, um das zu schreiben, aber das ist nicht der Grund, warum ich es nicht geschrieben habe. Ich weiß, wie ich beweisen kann, dass es genau eine Lösung dafür gibt, wie Impuls und Energie mit Ruhemasse und -geschwindigkeit variieren und zu welcher Ruhemasse und subluminalen Geschwindigkeit sich 2 Objekte mit einer bestimmten Ruhemasse und subluminalen Geschwindigkeit kombinieren.

Ja, Erhaltungssätze sind das, worauf Sie Energie (relativistische Masse) und Impuls basierend definieren – sowohl in der Relativitätstheorie als auch in der nicht-relativistischen Mechanik. Energie ist definiert als eine konservierte skalare Bewegungsgröße und Impuls als eine konservierte vektorielle Bewegungsgröße.

Die Ruhemasse bleibt nicht erhalten, weil die Norm einer Summe nicht gleich der Summe der Normen ist. ( v μ + w μ ) ( v μ + w μ ) ≠ v μ v μ + w v w v .

Bleiben relativistischer Impuls und relativistische Masse in der speziellen Relativitätstheorie erhalten?
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