Erhaltung des 4-Impulses in der speziellen Relativitätstheorie

Ich verstehe, dass das innere Produkt zweier 4-Vektoren unter den Lorentz-Transformationen erhalten bleibt

Ja,$p_1.p_2$ist eine Lorentz-Invariante

Damit ist der Absolutwert der vier Impulse in jedem Bezugssystem gleich.

Es ist nicht richtig, vom "Absolutwert" eines (Quadri)Vektors zu sprechen. Was bei einer Lorentz-Transformation erhalten bleibt$p^2 = (p^o)^2 - \vec p^2$

Dies ist, was ich (höchstwahrscheinlich fälschlicherweise) dachte, mit der Erhaltung des Impulses gemeint war.

Nein, Impulserhaltung ist etwas ganz anderes. Letztendlich haben Sie eine Theorie, die Felder und Wechselwirkungen beschreibt, die durch eine Aktion beschrieben werden, die durch einige Symmetrien invariant ist. Wenn die Aktion durch Raum- und Zeittranslationen unveränderlich ist, dann gibt es eine Erhaltungsgröße, die Impuls / Energie ist.

Ich verstehe nicht, warum Gleichungen wie P 1 = P 2 + P 3 (P i sind beispielsweise 4-Impuls-Vektoren für verschiedene Teilchen bei einer Kollision) innerhalb eines Referenzrahmens gelten sollten. Mir wurde gesagt, dass man bei der Kollision von Teilchen nicht einfach vier Geschwindigkeiten addieren kann, also warum sollte man das mit den Impulsvektoren machen können?

Wenn die theoretische Aktion durch Raum/Zeit-Translationen invariant ist, bleibt der Impuls/die Energie erhalten, sodass der Gesamtimpuls/die Gesamtenergie der Anfangsteilchen derselbe ist wie der Gesamtimpuls/die Gesamtenergie der Endteilchen:

Wenn es mehrere Anfangsteilchen gibt, werden sie als unabhängig betrachtet (der globale Zustand ist das Tensorprodukt der Zustände der Anfangsteilchen). Die Unabhängigkeit bedeutet, dass Sie Folgendes haben:

Wenn Sie in der speziellen Relativitätstheorie zwei Geschwindigkeiten addieren, müssen Sie die Formel verwenden

Man kann also nicht einfach zwei Geschwindigkeiten addieren. Normalerweise ist die Geschwindigkeit keine gute Variable, mit der man in der speziellen Relativitätstheorie arbeiten kann. Es ist viel einfacher, die Vier-Impuls-Erhaltung zu verwenden, die einfach durch gegeben ist

für eine Teilchenkollision, bei der zwei Teilchen mit$p_1$Und$p_2$kollidieren und dann zusammenhalten und den Schwung haben$p$. Da ist der Vierer-Impuls durch gegeben

die Erhaltung des Viererimpulses ist nichts anderes als die Erhaltung der Energie$E$und die Erhaltung des Dreierimpulses$\vec{p}$.

Um Ihre Fragen zu beantworten:

Warum können wir bei einer Teilchenkollision Viererimpulse hinzufügen? Denn Energie- und Impulserhaltung gilt auch in der Relativität.

Warum können wir bei einer Teilchenkollision nicht vier Geschwindigkeiten hinzufügen? Weil es so etwas wie "Geschwindigkeitserhaltung" nicht gibt, weder klassisch noch in der Relativitätstheorie.

Sie können einfach jede Komponente überprüfen und sie sind nur Impulserhaltung im 3-Impuls. Es gibt keine Geschwindigkeitserhaltung, also können Sie sie nicht addieren.