Die Einrichtung

Ein transparentes isotropes dielektrisches Medium, das sich im Negativ bewegt$x'$Richtung mit Geschwindigkeit$v$im Rahmen$S'$ist stationär im Rahmen$S$, wo es einen Brechungsindex hat$n$. Mit anderen Worten, Rahmen$S'$bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit$v$im Positiven$x$Richtung relativ zum Rahmen$S$. Wir nehmen an, dass die Ursprünge der beiden Frames zusammenfallen$t = 0$.

Berechnen Sie den Brechungsindex$n'$im Rahmen$S'$erfahren durch Licht, das innerhalb des Dielektrikums entlang wandert$y$-Achse im Rahmen$S$.

Ich habe eine schematische Darstellung des Setups unten gezeichnet.

Ich habe zwei Ansätze zu dieser Frage gefunden, die mir beide unterschiedliche Antworten geben. Ich hatte gehofft, jemand wäre in der Lage, auf den Fehler in einer dieser Methoden hinzuweisen.

Methode 1

Der 4-Wellen-Vektor eines Photons, das sich unter einem Winkel bewegt$\theta$zum$x$-Achse in der$x$-$y$Flugzeug ist

$$K = (\omega/c, k \cos \theta, k \sin \theta, 0 )$$

Durch Anwendung einer Lorentz-Transformation auf diesen Vektor gelangen wir zu den folgenden Beziehungen zwischen Frequenz, Wellenzahl und Einfallswinkel$S'$und diese Mengen in$S$:

$$\omega'/c = \gamma\omega/c - \gamma\beta k \cos \theta$$ $$k' \cos \theta' = \gamma k \cos \theta - \gamma \beta \omega /c$$ $$k' \sin \theta' = k \sin \theta$$

Der Brechungsindex in$S'$ist definiert durch

$$\omega'/k' = c/n' \qquad \implies \qquad n' = ck'/\omega'$$

Legen wir fest$\theta = \pi/2$, entsprechend der Bewegung in der$y$-Richtung. Summieren Sie dann die Quadrate der unteren beiden Gleichungen, um sie zu eliminieren$\theta'$, Quadratwurzel ziehen und dann das Ergebnis durch die erste Gleichung dividieren, finden wir:

$$ck'/\omega' = \frac{c}{\omega\gamma} \sqrt{k^2 + \frac{\gamma^2\beta^2 \omega^2}{c^2}}$$

Wenn wir einen Faktor ziehen$k^2$außen können wir das so schreiben:

$$ck'/\omega' = n' = \frac{n}{\gamma} \sqrt{1 + \frac{\gamma^2\beta^2 }{n^2}}$$

Methode 2

Hier verfolge ich einen eher 'ersten-Prinzipien'-Ansatz. Wir können zwei Ereignisse in der Raumzeit identifizieren – den Punkt, an dem ein bestimmtes Photon in das dielektrische Medium eintritt, und den Punkt, an dem es es verlässt. Lassen Sie uns die Koordinaten im Rahmen definieren$S$von den ersten dieser Ereignisse zu sein$(0,0,0,0)$. Dann in$S$wir wissen, dass die Koordinaten des Punktes, an dem das Photon das Medium verlässt, sind$(ct, 0, y, 0)$, Wo$t$Und$y$verwandt sind durch$c/n = y/t$--- das ist nur Geschwindigkeit = Entfernung / Zeit. Anwenden einer Lorentz-Transformation auf diese beiden Punkte, um die Koordinaten darin zu finden$S'$:

$$\mathrm{entrance}_{S'} = (0,0,0,0) \qquad \mathrm{exit}_{S'} = (\gamma ct, -\gamma \beta ct, y, 0)$$

Die Gesamtzeit, die das Photon benötigt, um sich durch den Block zu bewegen, ist daher$\gamma t$, während die zurückgelegte Gesamtstrecke nach Pythagoras

$$\sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + y^2}$$

Das Teilen dieser Mengen sollte uns ergeben$c/n'$, die Geschwindigkeit des Photons. Daher können wir schreiben

$$n' = \frac{c \gamma t }{ \sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + y^2}} = \frac{c \gamma t }{ \sqrt{\gamma^2 \beta^2 c^2 t^2 + c^2 t^2 / n^2}}$$

Also haben wir

$$n' = \frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^2 \beta^2 + 1/n^2}}$$

was nicht mit dem ersten Ausdruck identisch ist. Ich nehme an, dass ich hier irgendwo auf der Strecke einen sehr dummen Fehler gemacht habe, aber ich kann ihn beim besten Willen nicht erkennen!