Charakterisierung des verallgemeinerten Blochraums in Kugelkoordinaten

$\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1}}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$Lassen$f:\mathbb R^{d^2-1}\to\mathscr B(\mathscr H)$sei die Zuordnung von Punkten in$\mathbb R^{d^2-1}$zu beschränkten Operatoren auf dem Hilbert-Raum$\mathscr H$, definiert von

$$f(\bs b)\equiv \frac{1}{d}\left(I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\right).$$ Das lässt sich für alle leicht nachweisen$\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$,$\,f(\bs b)$ist normalisiert und hermitesch. Das ist jedoch nicht immer der Fall$f(\bs b)\ge 0$, was bedeutet, dass$f(\bs b)$stellt nicht immer einen Zustand dar.

Definieren Sie die "verallgemeinerte Bloch-Kugel" (die übrigens keine Kugel ist) als die Menge von$\bs b\in\mathbb R^{d^2-1}$so dass$f(\bs b)$ist ein Zustand, das heißt,

$$B(\mathbb R^{d^2-1})\equiv\left\{ \bs b\in\mathbb R^{d^2-1}\text{ such that }f(\bs b)\ge0\right\}.$$ Jetzt ist das Problem herauszufinden, wofür$\bs b$wir haben $$d \,\,f(\bs b)=I+\sum_{\mu=1}^{d^2-1}b_\mu F_\mu\ge0.$$ Vermuten$\bs b$weist in irgendeine Richtung$\hat{\bs n}$,$\|\hat{\bs n}\|=1$. Schreiben$\|\bs b\|=r$, so dass$\bs b=r\hat{\bs n}$. Die Bedingung lautet dann $$d\,\,f(\bs b)=I + \bs b \cdot \bs F = I + r \,\hat{\bs n}\cdot\bs F \ge 0,\tag{A}$$ Wo$\bs F=(F_1,...,F_{d^2-1})$. Beachten Sie, dass$\bs F_{\hat{\bs n}}\equiv \hat{\bs n}\cdot\bs F$ist wieder spurlos und hermitesch, was das bedeutet$\bs F_{\hat{\bs n}}$können einheitlich diagonalisiert werden, und daher muss dasselbe für gelten$I + r \,\bs F_{\hat{\bs n}}$.

Betrachten Sie (A) in seiner Eigenbasis. Die Positivität eines hermitischen Operators ist gleichbedeutend damit, dass alle seine Eigenwerte positiv sind. Lassen Sie uns mit bezeichnen$\lambda_i$die Eigenwerte von$\bs F_{\hat{\bs n}}$. Wir sehen dann, dass (A) der folgenden Menge von äquivalent ist$d^2-1$Ungleichheiten:

$$1+r \lambda_i \ge 0,\text{ for all }i=1,...,d^2-1.$$ Beachten Sie, dass eine Matrix, die spurlos und hermitesch ist, negative Eigenwerte haben muss, d.h.$\lambda_i<0$für einige$i$. Wenn$\lambda_i\ge0$die Ungleichung ist trivial erfüllt, also nehmen wir an$\lambda_i<0$. In diesem Fall wollen wir$r\le1/(-\lambda_i)$für alle$i$, das ist $$r\le\frac{1}{\lvert\min_i\lambda_i\rvert}.$$

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Ein weiterer interessanter Punkt ist, dass die Bloch-Darstellung von Qudits, z$d>2$, ist im Allgemeinen keine einfache Kugel.

Um dies zu sehen, legen wir als Basis für die spurlosen hermiteschen Operatoren die Matrizen fest$A^{(ij)}$Und$B^{(ij)}$,$i<j$, überall als Null definiert, außer in den zweidimensionalen Blöcken, die von den Indizes überspannt werden$i$Und$j$, und auf diesen Blöcken gleich den Pauli-Matrizen$\sigma_x$Und$\sigma_y$, bzw. Mit anderen Worten,$A^{(ij)}$Und$B^{(ij)}$sind komponentenweise definiert als

$$A^{(ij)}=\sqrt{d/2}(\lvert i\rangle\!\langle j\rvert+\lvert j\rangle\!\langle i\rvert), \qquad B^{(ij)}=\sqrt{d/2}i(\lvert i\rangle\!\langle j\rvert-\lvert j\rangle\!\langle i\rvert)$$ Lassen Sie uns auch definieren$C^{(\ell)}$,$\ell=1,...,d-1$, als Diagonalmatrizen $$C^{(\ell)}\equiv\frac{\sqrt d}{\sqrt{\ell(\ell+1)}}\left(\sum_{k=1}^\ell\lvert k\rangle\!\langle k\rvert-\ell\lvert \ell+1\rangle\!\langle \ell+1\rvert\right)$$

Wie leicht zu überprüfen ist, sind alle diese Matrizen zueinander orthogonal und normalisiert als$\operatorname{Tr}(A^2)=d$, um also die Annahmen des ersten Teils der Antwort zu erfüllen.

Der kleinste Eigenwert von$A^{(jk)}, B^{(jk)}$Ist$-\sqrt{d/2}$, während der kleinste Eigenwert von$C^{(\ell)}$Ist$-\ell\sqrt{\frac{d}{\ell(\ell+1)}}$, also ist der Abstand zwischen der Grenze des Zustandsraums und dem Zentrum offensichtlich nicht konstant.

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In Bezug auf Ihre zweite Frage würde ich vermuten, dass die Autoren einfach sagen wollten, dass stattdessen der absolute Wert des minimalen Eigenwerts ist$1$.