Da die z-Transformation des Haltens nullter Ordnung 1 ist, warum sollte man sich die Mühe machen, sie in die Analyse oder Simulation einzubeziehen?

Der obige ZOH TF ist ein Bindeglied zwischen kontinuierlichen und diskreten Domänen in Hybridsystemen. Dies ist der bequemste Mechanismus zum Darstellen eines Hybridsystems in Form einer Übertragungsfunktion. Es gibt natürlich keine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen$s$Und$z$Domänen, daher ist es eine mathematische Annehmlichkeit. In der obigen Beziehung sollte der Exponentialterm negativ sein (nicht wie angegeben positiv), was a ergibt$z$-Äquivalent von$1-\exp(-sT)$als$(z -1)/z$bei rein diskreten Blöcken (Filter etc) enthalten sein und das$1/s$Ein Teil des ZOH sollte mit dem anderen kontinuierlichen eingeschlossen werden$s$-Blöcke. Der$s$-TF der kontinuierlichen Elemente wird dann in transformiert$z$-domain, insgesamt geben$z$-TF.

Wenn es jemanden interessiert, ist es interessant, die Z-Transformation des ZOH mit einer ANDEREN Rate durchzuführen. Mit anderen Worten, sagen Sie, Sie haben ein digitales Signal$X_{in}$das wird mit 50 Hz digitalisiert, also$T_1 = 0.02 \mathrm{s}$, jede Abtastung des Signals ist 20 ms auseinander. Angenommen, Sie haben ein Computerprogramm, das mit diesem Signal bei 100 Hz arbeitet (letz$T_2 = 0.01 \mathrm{s}$). Was im Computer passiert, ist das eine Variable$X_{in}$das sich alle 20 ms ändert, wird von Ihrem Programm alle 10 ms abgetastet, und es wird eine Operation ausgeführt, die eine Ausgabe erzeugt$X_{out}$. Da der Wert von$X_{in}$hält einfach seinen Wert, bis er sich alle 20 ms ändert, Sie können dies als ZOH betrachten:

$(1 - e^{-sT_1})/s$

Jetzt müssen Sie bei der neu digitalisieren$1/T_2$Rate. Der Zähler wird einfach

$(1-z_1^{-1})$

und der Zähler (durch s-zu-Z-Transformation):

$\frac{1}{(1-z_2^{-1})}$

ergebend:

$\frac{(1-z_1^{-1})}{(1-z_2^{-1})}$

Lassen Sie mich etwas zurückgehen und definieren$z_1$Und$z_2$.

Da im Allgemeinen$z = e^{-sT}$, definieren$z_1 = e^{-sT_1}$, Und$z_2 = e^{-sT_2}$

Bemerken, dass$T_1 = 2 T_2$,$z_1 = e^{-sT_1} = e^{-s2T_2} = e^{2(-sT_2)} = z_2^2$

Ersatz$z_2^2$für$z_1$:

$\frac{1-z_1^{-1}}{1-z_2^{-1}} = \frac{1-z_2^{-2}}{1-z_2^{-1}} = \frac{(1-z_2^{-1})(1+z_2^{-1})}{1-z_2^{-1}} = 1+z_2^{-1}$

Das Endergebnis ist also eigentlich sehr intuitiv, wenn man darüber nachdenkt. Das Programm, das Upsampling ist$X_{in}$von 50 bis 100 Hz nimmt einfach die Originalkopie$X_{in}$(der '1'-Teil des Ergebnisses) und Hinzufügen einer um eins verzögerten Kopie desselben Samples$T_2$Beispielschritt (der$z_2^{-1}$Teil). Ein einfaches Beispiel:

Sagen$X_{in} = [1;2;3;4]$, mit einem Abtastabstand von$T = 20\mathrm{ms}$Dann$X_{in}$Upsampling mit dem ZOH würde aussehen

$X_{inupzoh} = [1;1;2;2;3;3;4;4]$mit Probenabstand von$T = 10\mathrm{ms}$

BEACHTEN SIE, dass OHNE ZOH (sagen wir$X_{in}$jedes Mal gelöscht wurde, wenn es gelesen wurde), das Upsampling$X_{in}$wäre:

$X_{inup} = [1;0;2;0;3;0;4;0]$

Nun zum lustigen Teil (wenn Sie bei mir geblieben sind): Wenn Sie Zugriff auf ein Tool (wie Matlab) haben, um FFTs und Bode-Plots zu erstellen:

Machen Sie die fft von$X_{in}=[1;2;3;4]$, ebenso gut wie$X_{inup}$Und$X_{inupzoh}$. Sie können sich die Real- und Imag-Teile der FFT-Ergebnisse ansehen oder die FFT-Ergebnisse in Betrag und Phase umwandeln und die überraschenden Ergebnisse sehen.

Was Sie sehen sollten, ist, dass Upsampling ohne ZOH einfach die Nyquist-Frequenz verschiebt. Sie müssen bedenken, dass das Spektrum eines digitalen Signals periodisch und unendlich ist , das heißt, obwohl wir normalerweise nur das Spektrum aus betrachten$0$Zu$\frac{T_s}{2}$, dieses Spektrum wiederholt sich tatsächlich alle$\frac{kT_s}{2}$auf der Frequenzachse. Upsampling ohne ZOH hat das Signal nicht wirklich verändert (es hat nur Nullen eingefügt), aber es hat die Nyquist-Frequenz verschoben. Dann können Sie sehen, dass das HINZUFÜGEN einer weiteren Kopie des um einen Abtastpunkt verzögerten Signals einen interessanten Verstärkungs- UND Phaseneffekt hat. Bei niedrigen Frequenzen wird die Verstärkung tatsächlich verdoppelt, und die Verstärkung erreicht erst Eins$\frac{2}{3}\times 50\mathrm{Hz}$und fällt danach ab. Dies ist ein sehr realer Effekt, der bei einigen Steuerungssystemen, die verstärkungs- und/oder phasenempfindlich sind, Probleme verursachen kann.

Downsampling ist mathematisch etwas komplizierter ... Ich habe schon zu viel getippt ....