De Broglie Wellenlänge, Frequenz und Geschwindigkeit - Interpretation

Ja das Produkt$\nu \lambda$als Geschwindigkeit sinnvoll. Definieren$E = \hslash \omega$und$p=\hslash k$(die Planck-Konstante$h=2\pi \hslash$, bei dem die$2\pi$injiziert wird$\hslash$, da Physiker meist lieber über die Kreisfrequenz sprechen$\omega=2\pi\nu$und der Wellenvektor$k=2\pi p$eher die Frequenz$\nu$und der Schwung$p$für die Notation der Fourier-Transformation), erhalten Sie am Ende

$$\nu \lambda = \frac{\omega}{2\pi}\frac{2\pi}{k}=\frac{\omega}{k}$$ das ist die Standarddefinition für die Phasengeschwindigkeit . Sie entspricht der Geschwindigkeit der Wellenkomponente bei Frequenz $\nu$Ausbreitung über Distanz $\lambda$pro Zeiteinheit.

Dies gilt immer, aber für kompliziertere Situationen wird ein System durch eine Überlagerung verschiedener Wellen dargestellt, die sich mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit ausbreiten. Es ergibt sich ein Wellenpaket , das sich als Ensemble mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreitet

$$v_{g}=\frac{\partial \omega \left(k\right)}{\partial k}$$ wobei die Dispersionsrelation des Wellenpakets notiert ist $\omega \left(k\right)$.

Nur die Gruppengeschwindigkeit hat einige physikalisch eindeutige Interpretationen. Beispielsweise kann die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit sein, aber die Gruppengeschwindigkeit kann niemals größer als die Lichtgeschwindigkeit sein$v_{g}\leq c$, zumindest im Vakuum.

Für ein Photon im freien Raum gilt beispielsweise$\omega \left(k\right)=c k$und damit ist seine Gruppengeschwindigkeit$c$. Für ein freies nichtrelativistisches Massenteilchen$m$,$\omega = \hslash k^2/2m$, und$v_{g}=\hslash k/m$. etc...

Für einen menschlichen Körper müssen Sie alle Atome zählen, aus denen der Körper besteht. Die individuelle Frequenz eines Atoms interferiert mit den Frequenzen aller anderen, was zu einem nahezu flachen Dispersionsverhältnis führt. Die Gruppengeschwindigkeit ist dann lächerlich klein. Ein menschlicher Körper bewegt sich aufgrund des Quanteneffekts nicht! Sie können sich eine grundlegende Vorstellung von der Gruppengeschwindigkeit eines menschlichen Körpers machen, wenn Sie annehmen, dass Sie ein freies Massenteilchen sind$100 \textrm{kg}$und Wellenlänge$1 \textrm{m}^{-1}$( d . h. die Größenordnung Ihrer Größe liegt bei ca$1 \textrm{m}$) der$\hslash$tötet$v_{g} \sim \left(10^{-36}-10^{-34}\right) \textrm{m.s}^{-1}$!

Mehr dazu:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation

Ja, die Formeln$p=h/\lambda$und$E=h\nu$(die gleichen Gleichungen wie deine, etwas umgekehrt) sind universell – sie gelten nicht nur für Photonen, sondern für jedes Teilchen.

Außerdem sind diese beiden Gleichungen nicht ganz unabhängig. Unter der Annahme der speziellen Relativitätstheorie folgen beide aus der De-Broglie-Form der Wellenfunktion, die reine Phase ist:

$$\psi(x,t) = C\cdot \exp(2\pi i (x/\lambda - t\nu))$$ und in ähnlicher Weise in jeder Raumzeitdimension $$\psi\sim \exp(ix^\mu p_\mu / \hbar)$$ wo $x^\mu$hat Komponenten $(t,x,y,z)$mit einigen konventionellen Potenzen von $c$und $p_\mu/\hbar$hat Komponenten $2\pi\nu=\omega$und $\vec k$wo $|\vec k|=2\pi/\lambda$und $\vec k$ist der Wellenzahlvektor mit der Richtung der Welle. Beachten Sie, dass $\hbar = h/2\pi$ist die natürlich reduzierte Planck-Konstante.

Nur weil wir wollen, dass die Phase Lorentz-invariant ist, müssen wir die Produkte der räumlichen Komponenten zum Produkt der zeitlichen Komponenten addieren, sodass sich der Exponent zu dem schönen vierdimensionalen inneren Produkt kombiniert. So kam de Broglie überhaupt auf die Idee der Welle.

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik verwenden wir oft den nicht-relativistischen Begriff der Energie, der ist$E - m_0 c^2$: Wir subtrahieren die riesige latente Energie. Diese Gesamtverschiebung der Energie um eine Konstante macht für die Physik keinen Unterschied und ist gleichbedeutend mit der Neudefinition der Phase von$\psi$von$\psi\to \psi \exp(imc^2 t / \hbar)$. In dieser nicht-relativistischen Konvention für die Phase verlieren wir die manifeste Lorentz-Symmetrie zwischen Impuls und Energie, aber die Symmetrie ist immer noch da und kann wiederhergestellt werden, wenn wir zurückkehren$mc^2$zu$E$.