Definition des Riemann-Tensors für nicht verschwindende Torsion

Aus der Definition des Riemann-Tensors haben wir:

R ( z , v , w ) = ∇ [ v ∇ w ] z − ∇ [ v , w ] z

und Berechnen der Koordinaten von R auf Koordinatenbasis erhalten wir:

R A B C D A = ∂ C Γ A B D A − ∂ D Γ A B C A + Γ A μ C A Γ A B D μ − Γ A μ D A Γ A B C μ

Ich finde einen anderen Weg, um den Koeffizienten für den Riemann-Tensor mit nicht verschwindender Torsion zu berechnen:

(1) [ ∇ C , ∇ D ] v A = 2 ∇ [ C ∇ D ] v A = 2 ∂ [ C ∇ D ] v A − 2 Γ e [ D C ] e ∇ e v A + 2 Γ A e [ C A ∇ D ] v e = 2 ∂ [ C ( ∂ D ] v A + Γ A | e | D ] A v e ) + 2 S A C D e ∇ e v A + 2 Γ A e [ C A ( ∂ D ] v e + Γ A | B | D ] e v B ) = 2 ∂ [ C Γ A | B | D ] A v B − 2 Γ A e [ C A ∂ D ] v e + 2 S A C D e ∇ e v A + 2 Γ A e [ C A ∂ D ] v e + 2 Γ A e [ C A Γ A | B | D ] e v B = = 2 ( ∂ [ C Γ A | B | D ] A + Γ A e [ C A Γ A | B | D ] e ) v B + 2 S A C D e ∇ e v A

wobei die erste Klammer der Riemann-Cartan-Tensor ist und der zweite Term der Teil aufgrund des nicht verschwindenden Torsionstensors ist.

Meine Frage ist:

Der erste Term der ersten Definition ∇ [ v ∇ w ] z ist die zweite Gleichung (1), aber nur der erste Term der zweiten Gleichung ist der Riemann-Tensor. Wie kann ich dieses Problem lösen? Ist die Definition des Riemann-Tensors unvollständig?

Antworten (1)

In der invarianten Schreibweise ∇ X ∇ Y entspricht X A ∇ A ( Y B ∇ B ) , nicht X A Y B ∇ A ∇ B , z.B. das Vektorfeld Y wird auch differenziert.

Wir können definieren ∇ X , Y 2 Z = ich X ich Y ∇ ∇ Z , wo hier ich bedeutet "in das letzte leere Argument einfügen", dann haben wir

X A ∇ A ( Y B ∇ B ) Z C = X A ∇ A Y B ∇ B Z C + X A Y B ∇ A ∇ B Z C ,
So
∇ X , Y 2 Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ ∇ X Y Z .

Das gibt dann

R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z = ∇ X , Y 2 Z + ∇ ∇ X Y Z − ∇ Y , X 2 Z − ∇ ∇ Y X Z − ∇ [ X , Y ] Z = ∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z + ∇ ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] Z = ∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z + ∇ T ( X , Y ) Z .

Wie Sie sehen können [ ∇ A , ∇ B ] X C = R   D A B C X D Ricci-Identität entspricht R ( X , Y ) Z = ∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z , was ohne Torsion sicher zutrifft.

Bei Torsion wird dies modifiziert

R ( X , Y ) Z = ∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z + ∇ T ( X , Y ) Z ,
aber die Definition des Krümmungstensors,
R ( X , Y ) = ∇ X ∇ Y − ∇ Y ∇ X − ∇ [ X , Y ]
hängt überhaupt nicht von der Torsion ab.

Ok, ich kann sehen, dass wir aus der Definition bei Vorhandensein von Torsion erhalten, dass der Krümmungstensor ist
R ( X , Y ) Z = ∇ X , Y 2 Z − ∇ Y , X 2 Z + ∇ T ( X , Y ) Z ,
aber nur die ersten beiden Terme entsprechen dem Riemann-Tensor? Krümmungstensor und Riemann-Tensor unterscheiden sich bei Torsion?
@raskolnikov Nein, alle drei Begriffe entsprechen dem Krümmungstensor. Die grundlegendere Definition des Krümmungstensors ist R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z , wenn Sie dies in Bezug auf die zweite kovariante Ableitung schreiben, erhalten Sie den Ausdruck, den Sie im Kommentar geschrieben haben.
OK aber R   B C D A ist gleich welchen Termen bei Torsion?
@raskolnikow R B C D A X B = [ ∇ C , ∇ D ] X A + T   C D B ∇ B X A .
Entschuldigung, aber ich kämpfe wieder mit diesem Problem. In Ihrem letzten Kommentar sagten Sie: R   B C D A X B = [ ∇ C , ∇ D ] X A + T   C D B ∇ B X A aber das ist mit meiner Berechnung von nicht vereinbar [ ∇ C , ∇ D ] Ich habe in meiner Frage geschrieben, da ich den Torsionstensor nicht beseitigen kann T   C D B Setzen Sie meine Formel in Ihre ein.
niemand kann mir helfen?
Definition des Riemann-Tensors für nicht verschwindende Torsion
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