Der Erwartungswert der Verschränkungsentropie eines zusammengesetzten Systems in einem zufällig reinen Zustand

Ich versuche, den Erwartungswert der Verschränkungsentropie eines zusammengesetzten Systems in einem zufälligen reinen Zustand zu berechnen, aber ich stoße auf einige Probleme.

Das System, das wir betrachten, besteht aus zwei Subsystemen H = H A ⊗ H B mit Maßen N A Und B . Nehmen wir an, dass System A das kleinere der beiden ist: N A ≤ N B . Wir betrachten zufällige reine Zustände | ψ ⟩ ∈ H diese werden wie folgt generiert:

Zur Grundlage { e ich } von H A und Grundlage { F J } von H B wir können schreiben

| ψ ⟩ => ∑ ich = 1 N A ∑ J = 1 N A Ψ ich J | e ich ⟩ ⊗ > | F J ⟩ .
Ψ ich J kann als Koordinaten eines Punktes auf der Einheitskugel angesehen werden S N A N B − 1 In C N A N B . Also für jeden ψ es gibt einen entsprechenden Punkt auf der Einheitskugel. Dieser Punkt wird einheitlich zufällig gewählt.

Entsprechend können wir die zufälligen Zustände konstruieren als U | ψ ⟩ wobei U eine zufällige einheitliche Matrix ist, die mit dem Haar-Maß ausgewählt wurde.

Die reduzierte Dichtematrix von A ist ρ A = Tr B | ψ ⟩ ⟨ ψ | mit entsprechender Verschränkungsentropie S A ( ψ ) = − Tr ρ A Protokoll ⁡ ρ A .

Ich möchte den Erwartungswert von berechnen S A , gegeben von

E ( S A ) = ∫ S ( N A N B − 1 ) D σ ( ψ ) S A ( ψ ) ,
Wo D σ ( ψ ) ist das einheitliche Maß auf der Einheitskugel S ( N A N B − 1 ) .

Ich habe zwei verschiedene Dinge ausprobiert:

Verwenden der Schmidt-Zerlegung

Jedes Bundesland ψ kann Schmidt zerlegt werden: Es gibt orthonormale Familien { e 1 , e 2 , . . . , e N A } ∈ H A Und { F 1 , F 2 , . . . , F N A } ∈ H B und reelle Zahlen C 1 , C 2 , . . . , C N A ≥ 0 mit ∑ ich C ich 2 = 1 so dass

| ψ ⟩ = ∑ ich = 1 N A C ich | e ich ⟩ ⊗ | F ich ⟩ .
Die Verschränkungsentropie ist in diesem Fall gegeben durch S A ( ψ ) = ∑ ich C ich 2 Protokoll ⁡ C ich 2 .

Ich dachte, ich könnte einen zufälligen Zustand erzeugen, indem ich eine zufällige Schmidt-Zerlegung nehme, womit ich meine, alles nehmen C ich einheitlich mit ∑ ich C ich 2 = 1 , nehmen Sie eine zufällige orthonormale Basis von H A (unter Verwendung einer zufälligen einheitlichen Matrix mit dem Haar-Maß, um eine aus einer festen Basis zu erzeugen) und einer zufälligen orthogonalen Familie in H B (Wieder unter Verwendung einer zufälligen einheitlichen Matrix U mit dem Haar-Maß, um eine zu erzeugen, aber da wir uns nur um die kümmern würden N A ersten Spalten Ich denke, ich sollte die Maßnahme irgendwie anpassen, um dies zu kompensieren).

Ich fürchte jedoch, dass dies nicht korrekt ist: Ich bin nicht von der Wahl der orthonormalen Familien abhängig, daher wären bei der Berechnung des Erwartungswerts die Integrale über die Einheitsmatrizen nur trivial. Meine erste Frage lautet also: Stimmen meine "zufälligen Schmidt-zerlegten Zustände" mit (normalen) zufälligen Zuständen überein? Und wenn nicht, warum?

Verwenden Sie ein einheitliches Maß auf der Einheitskugel

Mein zweiter Versuch (den ich noch nicht abgeschlossen habe) bestand darin, das einheitliche Maß auf der Einheitskugel wie oben beschrieben zu verwenden.

Damit könnte ich eine Wahrscheinlichkeitsdichte von angeben ρ A = Ψ Ψ † und dann konnte ich schreiben ρ A = U Λ U † mit U eine einheitliche Matrix und Λ = diag ( P 1 , P 2 , . . . , P N A ) . Ich könnte dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte für angeben Λ als

P ( P 1 , P 2 , . . . , P N A ) = ∫ D σ ( U ) P ( U Λ U † )
Wo D σ ( U ) ist das Haar-Maß. Aber ich hänge ein bisschen damit fest.

Sobald ich das finde könnte ich den Erwartungswert so umrechnen

E ( S A ) = − ∫ D P 1 D P 2 , . . . D P N A P ( P 1 , P 2 , . . . , P N A ) ∑ ich P ich Protokoll ⁡ P ich

Meine zweite Frage ist, ist dies ein korrekter Weg, es zu tun? Kann mir jemand bei der Parametrierung helfen Ψ in Form von Winkeln auf der Einheitskugel oder mit einer anderen Methode zu erhalten P ( P 1 , . . . , P N A ) und vielleicht einige der nachfolgenden Integrale?

Ich habe in diesem Artikel etwas gefunden , aber die meisten Schritte sind mir etwas vage.

Sollte diese Art von Frage lieber im Mathe-Stack-Austausch gepostet werden? Ich habe es dort drüben neu gepostet, da es eigentlich eine technische Frage zur Mathematik ist und nicht so viel Physik involviert ist. Soll ich es hier entfernen?

Usnig statt Using. Verzeihung ...
@igael du weißt, dass du meine Frage bearbeiten kannst, oder?
peinlich berührt von den 2 Punkten Vergeltung :)

Antworten (2)

Ich bin auf diese Artikel gestoßen, aber ich verstehe nicht, wie sie erhalten werden P ( P 1 , . . . , P N A ) und wie sie das Integral zu Obat auswerten E ( S A ) .

Ich bin mir nicht sicher, was Sie meinen, wenn Sie einen zufälligen reinen Zustand einheitlich auswählen.
Wollen Sie:
a) Jeder | Ψ ⟩ wird einheitlich in gewählt H , So | Ψ ⟩ = 1 N A N B ∑ ich = 1 N A ∑ J = 1 N B | e ich ⟩ ⊗ | F J ⟩ Und ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |
b) Die Dichtematrix wird in jedem reinen Zustand einheitlich gewählt, also ρ = 1 N A N B ∑ ich = 1 N A ∑ J = 1 N B | e ich ⟩ ⊗ | F J ⟩ ⟨ e ich | ⊗ ⟨ F J |
c) Wie ich Ihren beiden Ansätzen entnommen habe, wollen Sie eigentlich | Ψ ⟩ einheitlich, aber zufällig ausgewählt werden H , Rechts? (Ich denke, ich wollte nur sicherstellen, dass zwischen der einheitlichen Auswahl und der einheitlichen Zufallsauswahl unterschieden wird ...) Wenn ja, siehe meine Antworten unten.

Zu deinen Fragen:
Schmidt-Zerlegung: Hier ist mir nicht klar, wie ich das Wahrscheinlichkeitsmaß deines Zustands definieren soll, um eine Gleichverteilung zu erhalten, da die Wahl der Basisvektoren für die Zerlegung nicht so transparent ist.
Bloch-Kugel: Ich habe nicht ganz verstanden, wen Sie für die Konstruktion dieser einheitlichen Matrix U auswählen würden ρ A und wovon hängt die Wahrscheinlichkeit P ab?

Ich würde folgendes tun:
Verwenden Sie die Kronecker-Basis

H = ⟨ { e 1 ⊗ F 1 , e 1 ⊗ F 2 , . . . , e 1 ⊗ F N B , e 2 ⊗ F 1 , . . . , e N A ⊗ F N B } ⟩ =: ⟨ { Ψ 1 , . . . , Ψ N A N B } ⟩
= { ∑ ich = 1 N A N B A ich Ψ ich   | ∑ ich = 1 N A N B | A ich | 2 = 1 } = { ∑ ich = 1 N A N B A ich Ψ ich   | A = ( A 1 , . . . , A N A N B ) ∈ S N A N B − 1 } .
Also für eine zufällige einheitliche Auswahl eines Elements aus H Ich würde eine einheitliche Wahl verstehen A = ( A 1 , . . . , A N A N B ) ∈ S N A N B − 1 , verwenden Sie daher a als Zufallsvariable mit Werten in S N ( N = N A N B − 1 ) und messen D μ ( A ) = 1 | S N | D Ω N Wo | S N | ist die Fläche der n-dimensionalen Kugel und D Ω N das übliche Volumenelement davon. Die Matrix mit reduzierter Dichte ist dann eine Kombination von A k 's und Sie müssten nach seinen Eigenwerten suchen { λ ich ( A ) } ich = 1 N A um zu rechnen S A ( A ) = − ∑ ich = 1 N A λ ich ( A ) l Ö G λ ich ( A ) . Die Formel für den Erwartungswert der Entropie wäre dann
E [ S A ( A ) ] = ∫ S N S A ( A ) D μ ( A )
wo die Integration jetzt ein ziemliches Durcheinander ist, je nachdem, was Sie für die Eigenwerte bekommen.

Ist das sinnvoll?

Ich meine wirklich zufällige Zustände, die gleichmäßig zufällig auf der Einheitskugel in ausgewählt werden C N . Ich werde dies in meiner Frage korrigieren, danke für den Hinweis.
Warum sollte die Matrix mit reduzierter Dichte ein oberes Dreieck sein? Eine Dichtematrix wie immer hermitesch.
Oh ja, du hast Recht - es tut mir leid, dass ich da nicht vorsichtig genug war. Ich werde es oben ändern. Ich hoffe jetzt ist es richtig.
Vielen Dank für die Erklärung, aber ich denke, dass Ihre Antwort mehr oder weniger eine Umformulierung meiner Frage ist. Vielleicht war ich nicht klar genug darüber, was ich bereits habe. Mein Problem ist eigentlich, die Beziehung zu finden γ ich ( A ) und Berechnen des Integrals.
Ok, tut mir leid. Ich hatte gehofft, ein konkreter Ansatz könnte helfen.
Nun, es war trotzdem irgendwie hilfreich, eine Bestätigung zu bekommen, wie man es angeht.
Der Erwartungswert der Verschränkungsentropie eines zusammengesetzten Systems in einem zufällig reinen Zustand
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