Die Annahme schwacher Selektion?

Dies ist meine Meinung dazu, ohne Erfahrung mit der Verwendung der Taylor-Reihe zur Analyse evolutionärer spieltheoretischer Probleme.

Wie Sie wissen, ist die Entwicklung der Taylor-Reihe von$f(x)$am Punkt$a$kann geschrieben werden als:

$f(x)= f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + ...$

Häufig werden Faktoren oberhalb zweiter Ordnung zur Vereinfachung weggelassen. Um jedoch die Taylor-Entwicklung zu verwenden, muss die Funktion an einem Punkt differenzierbar sein$a$, und um differenzierbar zu sein, muss sie stetig sein.

Wie @Artem Kaznatcheev in seiner Frage schreibt: " ... mit schwacher Auswahl, was bedeutet, dass das Spiel die Gesamtfitness nur geringfügig modifiziert ... " und " ... es ist typisch, Organismen so zu modellieren, dass sie eine Basisfitness haben, die durch leicht modifiziert wird Spielinteraktion... ". Diese Aussagen implizieren, dass die Gesamtfitnessfunktion/-fläche als relativ glatt und kontinuierlich angenommen werden kann (dh die Auszahlung ist vernachlässigbar), was bedeutet, dass die Entwicklung der Taylor-Reihe verwendet werden kann. Wenn die Spielauszahlungen für ein einzelnes Spiel einen großen Teil der Gesamtfitness bestimmen würden, wäre die Fitnessoberfläche diskontinuierlich.

Ein Beispiel, bei dem eine Taylorreihenentwicklung verwendet wird, um die Fitnessfunktion unter schwacher Selektion zu vereinfachen, findet sich in Andre & Godelle (2006) (siehe Gleichung 20 ff).

Vielleicht finden Sie auch diese Ergänzung zu Nowak et al. (2010) interessant (ein ziemlich kontroverses Papier), insbesondere Seite 8.

Ich denke, @fileunderwater bietet eine gute Erklärung der mathematischen Grundlagen dahinter und einige gute Referenzen. Ich möchte näher auf die Modellierungsentscheidungen und Vorteile der Annahme einer schwachen Selektion eingehen und warum dies in der Literatur gemacht wird.

Wenn Sie evolutionäre Modelle erstellen, insbesondere in der evolutionären Spieltheorie, beginnen Sie zunächst mit einem Differentialgleichungsmodell reibungsfreier Populationen (dies bedeutet normalerweise, dass Sie von einer sehr großen Populationsgröße ausgehen). Diese Modelle führen oft zu einer Dynamik der Form$\dot{x}_i = x_if_i(\vec{x})$wo$f_i$ist eine nichtlineare Funktion, die der relativen Fitness entspricht, wobei die Nichtlinearität jedoch von der Stärke der Auswahl abhängt. Wenn Sie ein schwaches Auswahlargument vorbringen, können Sie häufig einer Linearisierung nahe kommen$f_i$mit der Taylor-Entwicklung . Dies reduziert Ihre Gleichungen auf eine Form wie$\frac{dx_i}{dt} = x_i(\vec{c}_i^T\vec{x} - \phi)$wo$\phi$ist eine durchschnittliche Fitness. Obwohl die Transienten dieser Dynamik immer noch kompliziert sind, ist das Gleichgewicht normalerweise relativ einfach zu analysieren und reduziert sich auf die Betrachtung der Matrix$C = [\vec{c}_i^T]_{1 \leq i \leq n}$mit seinen Spalten, die durch Ihre Linearisierung der gegeben sind$f_i$s.

Natürlich ist dies nur ein erster Schritt, und der aktuelle Trend in der Literatur geht dahin, sich in eine Umgebung zu bewegen, in der Sie räumliche Strukturen haben . Hier bietet Ihnen die schwache Auswahl einen weiteren Bonus, da Sie damit die Zeitskalen von lokal (dominiert durch den konstanten Begriff) und global (dominiert von erster Ordnung in) trennen können$w$-- die Selektionsstärke) Netzwerkdynamik. Auf diese Weise können Sie die leistungsstarke Paar-Approximationstechnik verwenden . Ein großartiges Beispiel für seine Verwendung ist Ohtsuki & Nowaks (2006) Lösung zur evolutionären Dynamik von Spielen$k$-regelmäßige Zufallsgraphen (eine kurze Übersicht finden Sie hier ).

Die letzten Einstellungen, in denen dies nützlich ist, sind die Untersuchung der Wechselwirkung von Mutation und Selektion in endlichen Populationen . In diesem Fall ermöglicht Ihnen die schwache Selektion, die Selektionskraft als kleine Störung des durch den Mutator ausgeglichenen stationären Zustands zu betrachten. Im Rahmen von EGT erfordert dies, dass Sie einige neue Lösungskonzepte dafür definieren, was es bedeutet, dass eine Strategie „besser“ ist als eine andere, aber dann einige interessante Verbindungen (siehe Antal, Nowak & Traulsen (2009) für mehr) und sehr allgemein Analyse des Mutations-Selektions-Gleichgewichts durchgeführt werden ( Antal et al., 2009 ).