Die Formel der Kraft, die durch ein ungleichmäßiges elektrisches Feld auf einen elektrischen Dipol ausgeübt wird

Wenn ein elektrischer Dipol Moment P befindet sich in einem ungleichmäßigen elektrischen Feld E , es wird eine Nettokraft darauf ausgeübt.

Allerdings ist die Formel der Kraft in einigen Büchern zu lesen F = ∇ ( P · E ) , während es in anderen Büchern so ist F = ( P · ∇ ) E . Offensichtlich sind die beiden Formeln nicht gleich. Also, welches ist wahr?

Antworten (1)

Beide Formeln sind äquivalent, wenn Sie sich in der elektrostatischen Näherung befinden und Ihr Dipolvektor nicht von der Position abhängt R .

Betrachten wir den Ausdruck F = ∇ R ( P ⋅ E ) die leicht aus der Potentialenergiefunktion erhalten werden kann

U = − P ⋅ E

und seine Beziehung zur Kraft F = ∇ R U . Erinnern Sie sich nun an die Vektoridentität

∇ R ( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ R ) B + ( B ⋅ ∇ R ) A + A × ( ∇ R × B ) + B × ( ∇ R × A )

für A = A ( R ) Und B = B ( R ) zwei beliebige Vektoren. Für P = A ≠ P ( R ) [unabhängig von der Position] und B = E ( R ) wir haben

∇ R ( P ⋅ E ) = ( P ⋅ ∇ R ) E + ( E ⋅ ∇ R ) P + P × ( ∇ R × E ) + E × ( ∇ R × P )

Da der Dipolvektor nicht von der Position abhängt, können wir den zweiten und vierten Term weglassen. In elektrostatischer Näherung lautet das Faradaysche Gesetz ∂ T B = 0 ⇔ ∇ R × E ( R ) = 0 [dies ist als „Carnsches Gesetz“ bekannt], so dass das elektrische Feld drehungsfrei ist und die Kräuselung verschwindet. Dann können wir den dritten Term fallen lassen und

∇ R ( P ⋅ E ) = ( P ⋅ ∇ R ) E

damit Ihre Definitionen übereinstimmen.

Danke für deine Antwort! Aber ich denke, die potentielle Energiefunktion U = − P ⋅ E gilt nur im homogenen elektrischen Feld. Wie kann man das für einen Dipol im inhomogenen Feld beweisen?
Ja, Sie können es für ungleichmäßige elektrische Felder verwenden, solange die charakteristische Längenänderungsskala des letzteren größer ist als die Dipollänge, sodass der Dipol sanfte Änderungen der elektrischen Feldstärke und -richtung sieht. Mit anderen Worten, für den Dipol ist das elektrische Feld lokal konstant.
Für den Dipol ist das elektrische Feld örtlich konstant, was bedeutet, dass die positive Ladung und die negative Ladung des Dipols das gleiche elektrische Feld spüren. Damit es keine Nettokraft gibt! Wie ist das zu erklären?
Vielleicht war ich nicht klar ... Ich sage nicht, dass es konstant sein muss, sondern dass die Variationen des elektrischen Feldes glatt sind. Was ich im Sinn habe, ist, dass Sie eine gültige Taylor-Entwicklung davon machen können E ( R ± ) um die Mitte des Dipols R 0 . Allerdings kann man mit dieser Methode auch den Ausdruck für die Kraft herleiten.
Der Ausdruck für die potentielle Energie gilt jedoch für alle elektrischen Felder, obwohl Sie in den Büchern die Herleitung nur für den Fall eines konstanten äußeren elektrischen Feldes finden.
Die Formel der Kraft, die durch ein ungleichmäßiges elektrisches Feld auf einen elektrischen Dipol ausgeübt wird
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