Die Rolle der Dauer der Infektiosität in SIR-Modellen

Ich beziehe mich auf die Anmerkungen von JH Jones zu R 0 .

Das grundlegende SIR-Modell – wie in Jones‘ Notizen beschrieben – berücksichtigt drei Faktoren, die die Reproduktionszahl ausmachen:

  • τ = die Übertragbarkeit (d. h. Ansteckungswahrscheinlichkeit bei Kontakt zwischen einer anfälligen und einer infizierten Person)

  • C ¯ = die durchschnittliche Kontaktrate zwischen anfälligen und infizierten Personen

  • D = die Dauer der Infektiosität

Die (Grund-)Reproduktionszahl ist dann

R 0 = τ ⋅ C ¯ ⋅ D

Die Dauer der Infektiosität geht als sogenannte Entfernungsrate in das grundlegende SIR-Modell ein v was nichts anderes ist als der Kehrwert der Dauer der Infektiosität: v = 1 / D :

D S D T = − β S ich

D ich D T = β S ich − v ich

D R D T = v ich

mit

  • S = der Anteil der anfälligen Personen

  • ich = Anteil der Infizierten

  • R = der Anteil der entfernten Personen (genesen oder gestorben)

  • β = τ ⋅ C ¯ = R 0 / D = effektive Kontaktrate oder Infektionsrate

Meine Frage betrifft den Weg dahin D kommt ins SIR-Modell, weil ich es nicht so plausibel finde:

  • alle Personen zu berücksichtigen, die heute infiziert sind, und einen Bruchteil zu nehmen v von denen, die sich morgen erholt haben werden.

Wäre das nicht viel plausibler

  • alle Personen zu berücksichtigen, die sich infiziert haben D vor Tagen und lassen Sie diese morgen wiederherstellen?

Der letztere Ansatz wäre besonders gültig, wenn die Todesrate vernachlässigt werden kann, dh wenn "entfernt ≈ erholt".

Mein Eindruck ist, dass die meisten Arbeiten, die eine Variante des grundlegenden SIR-Modells verwenden, die Dauer der Infektiosität auf die erste Art eingeben – was zu deutlich anderen Vorhersagen führt als im zweiten Fall.

Ich habe beide implementiert und das ist der Unterschied (nur aufgrund der unterschiedlichen Möglichkeiten, die D gibt die Progressionsformel ein, dh die Werte von β Und D sind repariert):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

(Falls Sie sich fragen, warum die Kurven oszillieren: Ich habe eine Art erworbene Immunität mit endlicher Dauer von nur einigen Monaten modelliert - aber in beiden Fällen auf die gleiche Weise.)

Diese Frage erinnert mich an die Gleichungen für radioaktiven Zerfall (siehe hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Nuclear/halfli2.html ). Dort gehen wir davon aus, dass pro Zeiteinheit ein konstanter Anteil an Teilchen zerfällt. Ein bestimmtes Teilchen kann eine Lebensdauer haben, die von null bis unendlich variiert, aber die durchschnittliche Lebensdauer aller Teilchen ist einfach der Kehrwert der Zerfallskonstante. Vielleicht gilt hier etwas ähnliches? (Stellen Sie sich infizierte Personen als Partikel vor, Entfernung als radioaktiven Zerfall und v als Zerfallskonstante.) Wenn dem so ist, ist der erste der beiden von Ihnen erwähnten Ansätze richtig.
Ich denke, der Hauptunterschied besteht darin, dass der radioaktive Zerfall einer Poisson-Verteilung folgt, die Genesung einer Krankheit jedoch nicht: Ich nehme an, es ist irgendwie Gauß-verteilt um ein charakteristisches Maximum.
Während die Anzahl der Zerfälle in einem bestimmten Zeitraum für eine Probe einer Poisson-Verteilung folgt, ist dies bei den Partikellebensdauern nicht der Fall. Tatsächlich haben sie eine Exponentialverteilung. Und wie können Erholungszeiten für eine Krankheit eine Normalverteilung haben? Eine Normalverteilung erstreckt sich unendlich in beide Richtungen, während die Erholungszeit niemals negativ sein kann.
Danke, du hast in beiden Fällen recht. Dennoch dürfte die Verteilung der Genesungszeiten „fast gaußförmig“ sein – denn niemand erholt sich sofort nach einer Ansteckung. Vielleicht ist DIESE Verteilung also Poisson - im Gegensatz zu Exponential?

Antworten (2)

Meine Frage betrifft den Weg dahin D kommt ins SIR-Modell, weil ich es nicht so plausibel finde:

  • alle Personen zu berücksichtigen, die heute infiziert sind, und einen Bruchteil zu nehmen v von denen, die sich morgen erholt haben werden.

Nun, es ist in der Tat nicht sehr „realistisch“, wie Sie betonen, aber in den Annahmen des Modells sehen wir, dass die Bevölkerung keine Struktur hat (sie ist gut gemischt, konstant) und es gibt keine Geburts-Todes-Ereignisse. In diesem Fall ist die Einnahme also nicht so problematisch v als Konstante über die gesamte Simulation, denn was Sie zu berechnen versuchen, ist die Rate, mit der die drei Unterfraktionen von N ( S , ich , Und R ) ändern, nicht wirklich, welche Personen von einer Klasse in eine andere wechseln (was Sie sowieso nicht wissen können, wenn Sie von Bruchteilen sprechen N ).

Wäre das nicht viel plausibler

  • alle Personen zu berücksichtigen, die sich infiziert haben D vor Tagen und lassen Sie diese morgen wiederherstellen?

In Anbetracht meines vorherigen Kommentars würde es also nicht viel Sinn machen, eine Zeitverzögerungsform anzunehmen D , da man nicht wirklich wissen kann, welche Personen sich zu einem bestimmten Zeitpunkt infiziert haben, kann man nur über Bruchteile davon sprechen N (es gibt keine Bevölkerungsstruktur, wie es in der Modellformulierung heißt). Die Tatsache, dass Ihre Formulierung eine langsamere Dynamik zu haben scheint, ist möglicherweise nicht sehr informativ, da Sie einfach angewendet haben D auf einen Bruchteil der Bevölkerungsklassen, also macht es mathematisch Sinn, dass es langsamer läuft, aber nach der Modellformulierung macht es nicht viel Sinn, es sei denn, Sie haben die Bevölkerungsstruktur von Anfang an definiert (was in diesem Fall ist nicht), und es sei denn, Sie können die individuellen Klassenübergänge explizit kennen. Tatsächlich glaube ich, dass das Nehmen des Bruchteils des Bruchteils zu einer künstlichen „Unterzählung“ dieser Personen führen würde, die eigentlich in der sein müssten ich Klasse (und Überzählen der anderen Klassen).

Die Einnahme sehe ich nicht problematisch v als Konstante. Ich verstehe nicht, was Sie mit "konstant über die gesamte Simulation" meinen. Darüber hinaus gibt es keinen einheitlichen Satz, zu dem S , ich , Und R ändere nur zwei: β Und v . Und ich verstehe dein Wer-Individuen -Argument nicht . Ich will nur sagen: Wenn "Dauer der Infektiosität" das bedeutet, was es zu bedeuten scheint, ist es sinnvoll, alle Neuinfizierten zu entfernen D Tagen wie morgen erholt, und nicht einen Bruchteil v = 1 / D von denen, die heute infiziert sind.
Bei den heute Infizierten handelt es sich um einige gestern neu Infizierte, einige vorgestern neu Infizierte, ..., und einige neu Infizierte D Vor Tagen. Und nur letztere wird sich morgen (in der Zwischenzeit) erholt haben.
Sie möchten das Modell so behandeln, als hätte es eine Populationsstruktur, aber das ist nicht der Fall. Das ist aus meiner Sicht das Hauptproblem.
Es liegt also nicht am Modell, sondern daran, wie Sie es verwenden.
Sorry, aber ich verstehe deine Argumentation immer noch nicht. Und ich verstehe immer noch nicht, was an meiner Argumentation falsch ist. Die einzige Struktur, die ich vermute, ist eine "zeitgerechte" Struktur: dass es eine Rolle spielt, wann eine Person infiziert wurde.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage ganz verstehe, aber ich denke, Ihr Problem liegt hier: Entfernung (und Ihr d) ist eine Rate (Zeit/Entfernung). Es spielt keine Rolle, welche Zeit Sie wählen; ein Tag, eine Woche, ein Jahr, solange Sie Ihr c (das ist /time) an dieselbe Zeitskala anpassen. Mit anderen Worten, wenn Sie d über mehrere Tage verwenden möchten, müssen Sie Ihre Kontakte über mehrere Tage berechnen, und das Ändern nur eines führt fälschlicherweise zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Ich fürchte, das geht an der Sache vorbei.
Die Rolle der Dauer der Infektiosität in SIR-Modellen
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