Die von Partikeln unter zentralen Kräften überstrichene Fläche ist eine Annäherung

Aus Keplers zweitem Gesetz schließen wir, dass die Erhaltung des Drehimpulses gleichbedeutend ist mit der Aussage, dass die Flächengeschwindigkeit konstant ist,

Und der Beweis geht so

M R 2 θ ˙ = L
Wo L ist Drehimpuls.
D ( 1 2 R 2 θ ˙ ) D T = 0 . . . ( 1 )   ( A S   L   A N D   M   A R e   C Ö N S T A N T )

wie man Flächenelement nimmtaus der Figur können wir schreiben

D A = 1 2 R   R D θ . . ( 2 )
und aus (1) und (2) erhalten wir
D A D T = 1 2 R 2 D θ D T

Da nun der Drehimpuls konstant ist, sagen wir: Der Radiusvektor überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten.

Mein Problem ist,

(1). Um das Flächenelement zu berechnen, nehmen wir eine Annäherung, wie erhalten wir also genaue Ergebnisse (bedeutet, wir haben es nur nach Annäherung und nicht im Allgemeinen mit dem Drehimpuls gleichgesetzt)?

(2) Ist Keplers zweites Gesetz bis zu einer gewissen Näherung wahr? Denn am Ende haben wir uns nur um das angenäherte Dreieck gekümmert, aber es bleibt ein kleinerer Bereich (wie in der Abbildung dargestellt), den wir nicht einbezogen haben. Und auf planetarer Ebene wird unsere Annäherung nicht funktionieren?

(3) Kann ich sagen, dass es keine Annäherung ist und ich etwas übersehen habe?

Schlussbemerkung: Die 3 Fragen sind eigentlich 1 Frage, die nur zur Bequemlichkeit des Lesers in Punkten geschrieben wurden. Ich kenne die Politik.

Antworten (2)

Das ist nur der Standardtrick der Analysis. Dies sieht aus wie eine Näherung für endlich Δ θ , aber wenn Sie die Fläche in immer kleinere Teile unterteilen, geht der Fehler auf Null. Die gleiche Argumentation ermöglicht es Ihnen, die Fläche unter einer Kurve in Form von Integralen zu schreiben.

Das sieht nach einem Trick aus, weil ich einen einfachen Ansatz gewählt habe. das gleiche, wenn es auf andere Weise bewiesen wird, nehmen wir nicht a D R D θ Komponente, Auch in dem Beweis in meiner Frage muss ich in einem Schritt annehmen, dass sin x = x ist, dann erhalten Sie nur die Senkrechte,
Ich habe nicht jeden Schritt geschrieben, aber wie Sie sehen können, um die senkrechte Höhe als zu beweisen R D θ Sie müssen sinx=x annehmen
Sie vermuten Sünde ⁡ ( D θ ) / D θ = 1 , was im Grenzfall gilt, wo man in immer kleinere Stücke teilt. Dies ist genau derselbe Kalkül-Trigger für Integrale.

Keplers zweites Gesetz ist keine Annäherung. Innerhalb der Klassischen Mechanik ist es ein exaktes Ergebnis, sofern zwei Körper mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz interagieren.

Der entscheidende Punkt ist, dass Ihre Gleichung ( 3 ) ist eine kontrollierte Annäherung für die Fläche, die von dem Positionsvektor überstrichen wird. Mit "kontrolliert" meine ich, dass es möglich ist zu zeigen, dass der Fehler mindestens in der Größenordnung liegt D θ 2 . Da also die Auswertung einer endlichen Fläche erfordert, zu integrieren D A zwischen einem Anfangs- und einem Endwinkel, die Annäherung erster Ordnung für D A enthält die Informationen, um das genaue Ergebnis zu erhalten.

Und das ist meine Frage, nachdem Sie den Term zweiter Ordnung vernachlässigt haben, erhalten Sie die gewünschte Antwort. aber auf planetarer Ebene kann diese Annäherung zweiter Ordnung zu einer großen Ungenauigkeit beitragen.
@Kunalkumar, um das Integral auszuwerten, musst du eine Grenze nehmen Δ θ → 0 was auch immer die Größe der Umlaufbahn ist. Es spielt also keine Rolle, ob Sie es mit Entfernungen zu tun haben N M oder P A R S e C .
Du hast Recht, aber was ist mit dem Fehler?
@Kunalkumar Wenn Sie das Limit nehmen, gibt es keinen Fehler. Es ist genau wie bei einem Integral: Wenn Sie alle Grenzwerte ausrechnen und das Primitiv finden, ist das Ergebnis exakt. Bei numerischer Auswertung ergibt sich ein (kontrollierbarer) Fehler durch die Diskretisierung. Die theoretischen Ergebnisse entsprechen jedoch dem Fall, in dem die Grenze richtig durchgeführt wird und es keinen endgültigen Fehler gibt.
nehmen wir diese Terme höherer Ordnung in praktischen Projekten (z. B. bei der NASA)?
@Kunalkumar, meinst du die numerische Integration? Nun, für genaue Berechnungen verwenden die Leute Algorithmen, die die Fehler im Diskretisierungsintervall höherer Ordnung machen. Sobald der Diskretisierungsfehler mit dem Rundungsfehler vergleichbar geworden ist, kann man nichts Besseres tun. Auf der theoretischen Seite gibt es jedoch überhaupt keinen Fehler oder keine Annäherung.
Die von Partikeln unter zentralen Kräften überstrichene Fläche ist eine Annäherung
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