Diffeomorphismusgruppe vs. GL(4,R)GL⁡(4,R)\operatorname{GL}(4,\mathbb{R}) in der Allgemeinen Relativitätstheorie

1. Gegeben sei eine 4-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit$^1$ $M$. Wie OP sagt, das Set${\rm Diff}(M)$ist die Gruppe der global definierten$C^{\infty}$- Diffeomorphismen $f:M\to M$. Der Satz${\rm Diff}(M)$ist eine unendlichdimensionale Lie-Gruppe . (Um tatsächlich mathematisch zu erklären, was der vorherige Satz bedeutet, müsste man definieren, was eine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit ist, was den Rahmen dieser Antwort sprengen würde.)

2. Es gibt auch den Gruppoid ${\rm LocDiff}(M) \supseteq {\rm Diff}(M)$von lokal definiert$C^{\infty}$-Diffeomorphismen$f:U\to V$(dh die invertierbaren Morphismen in der Kategorie ). Hier$U,V\subseteq M$sind offene Nachbarschaften (dh Objekte in der Kategorie).

3. Das obige ist Teil des aktiven Bildes . Umgekehrt gibt es im passiven Bild das Gruppoid$LCT(M)$von lokalen Koordinatentransformationen$f:U\to V$, Wo$U,V\subseteq\mathbb{R}^4$. Heuristischerweise aufgrund der dualen aktiven und passiven Formulierungen die beiden Gruppoide${\rm LocDiff}(M)$Und$LCT(M)$müssen auf "mikroskopischer Ebene" eng miteinander verbunden sein. (Wir überlassen es dem Leser, zu versuchen, den vorherigen Satz zu präzisieren.)

4. Betrachten wir als nächstes das Frame-Bundle $F(TM)$des Tangentialbündels $TM$. Es ist ein Hauptbündel mit Strukturgruppe$GL(4,\mathbb{R})$, die eine 16-dimensionale Lie-Gruppe ist .

5. Gegeben sind zwei lokal definierte Abschnitte

   $$(e_0, e_1, e_2, e_3), (e^{\prime}_0, e^{\prime}_1, e^{\prime}_2, e^{\prime}_3)~\in~ \Gamma(F(TM_{|W})), \tag{1}$$ in irgendeiner Nachbarschaft$W\subseteq M$, dann gibt es eine lokal definierte$GL(4,\mathbb{R})$-bewerteter Abschnitt $$\Lambda~\in~\Gamma(GL(4,\mathbb{R})\to W), \tag{2}$$ so dass die beiden Abschnitte (1) über miteinander in Beziehung stehen$^2$ $$e^{\prime}_{b}~=~ \sum_{a=0}^3 e_{a} \Lambda^{a}{}_{b}, \qquad b~\in~\{0,1,2,3\} \tag{3}.$$

6. Wenn umgekehrt nur einer der Abschnitte in Gl. (1), können wir eine beliebige verwenden$GL(4,\mathbb{R})$-wertiger Abschnitt (2), um den anderen Rahmen über Gl. (3).

7. Kehren wir nun zum Gruppoid zurück$LCT(M)$und sehen, wie die Strukturgruppe$GL(4,\mathbb{R})$kommt herein. Im Detail seien zwei lokale Koordinatentafeln gegeben$U,U^{\prime}\subseteq M$, mit nicht leerer Überlappung$U\cap U^{\prime}\neq \emptyset$, und mit lokalen Koordinaten$(x^0,x^1,x^2,x^3)$Und$(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3})$, bzw. Dann haben wir zwei lokal definierte Abschnitte

   $$\left(\frac{\partial}{\partial x^0}, \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3}\right)~\in~ \Gamma(F(TM_{|U})),$$ $$\left(\frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}, \frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}, \frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}},\frac{\partial}{\partial x^{\prime 0}}\right)~\in~ \Gamma(F(TM_{|U^{\prime}})), \tag{4}$$ im Rahmenbündel. Das Analogon der$GL(4,\mathbb{R})$-wertige Abschnitt (2) ist durch die (inverse) Jacobi-Matrix gegeben$^1$ $$\Lambda^{\mu}{}_{\nu} ~=~\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}},\qquad \mu,\nu~\in~\{0,1,2,3\}, \tag{5}$$ vgl. die Kettenregel .

8. Beachten Sie umgekehrt, dass nicht alle$GL(4,\mathbb{R})$-wertige Abschnitte (2) haben die Form einer Jacobi-Matrix (5). Gegeben sei ein lokales Koordinatensystem$(x^0,x^1,x^2,x^3)$und gegeben a$GL(4,\mathbb{R})$-wertigen Abschnitt (2), definieren diese beiden Eingaben nicht notwendigerweise ein anderes lokales Koordinatensystem$(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3})$. Der$GL(4,\mathbb{R})$-wertiger Abschnitt (2) muss in diesem Fall offensichtlich die folgende Integrierbarkeitsbedingung erfüllen

   $$\frac{\partial (\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}}{\partial x^{\lambda}} ~=~ (\mu \leftrightarrow \lambda). \tag{6}$$

9. Bisher haben wir nur eine willkürliche diskutiert$4$-Verteiler$M$ohne Struktur. Für den Rest dieser Antwort betrachten wir GR , nämlich wir sollten uns ausrüsten$M$mit einer Metrik $g_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}$der Unterschrift$(3,1)$.

10. In ähnlicher Weise führen wir eine Minkowski-Metrik ein$\eta_{ab}$im Standardexemplar$\mathbb{R}^4$im Bündel verwendet$GL(4,\mathbb{R})\to W$. Wir beschränken uns jetzt auf orthonormale Rahmen (auch bekannt als (inverse) Tetraden / Vierbeine )

    $$(e_0, e_1, e_2, e_3)~\in~ \Gamma(F(TM_{|W})), \tag{7}$$ dh sie sollten die Orthonormalbedingung erfüllen $$e_a\cdot e_b~=~\eta_{ab}. \tag{8}$$

11. Entsprechend die Strukturgruppe$GL(4,\mathbb{R})$des Rahmenbündels$F(TM)$durch die eigentliche Lorentzgruppe ersetzt wird $SO(3,1;\mathbb{R})$, die ein$6$-dimensionale Lie-Gruppe. Insbesondere werden die Abschnitte (2) durch lokal definierte ersetzt$SO(3,1;\mathbb{R})$-bewertete Abschnitte

    $$\Lambda~\in~\Gamma(SO(3,1;\mathbb{R})\to W). \tag{9}$$ Diese Einschränkung wird benötigt, um die Existenz endlichdimensionaler Spinorialdarstellungen zu gewährleisten, die wiederum benötigt werden, um fermionische Materie im gekrümmten Raum zu beschreiben. Siehe auch zB diesen Phys.SE-Beitrag und diesen MO.SE-Beitrag.

12. Betrachten Sie ein kovariantes/geometrisches Wirkungsfunktional

    $$S[g, \ldots; V]~=~\int_V \! d^4~{\cal L} \tag{10}$$ über einem Raumzeitgebiet$V\subseteq M$, dh$S[g, \ldots; V]$ist unabhängig von lokalen Koordinaten, dh invariant unter dem Gruppoid$LCT(M)$. Die Aktion $$S[g, \ldots; V]~=~S[f^{\ast}g, \ldots; f^{-1}(V)] \tag{11}$$ ist dann auch invariant unter Pullback mit lokal definierten Diffeomorphismen$f\in{\rm LocDiff}(M)$.

13. Zusammenfassend sind die Symmetrien von GR:

    • Pullbacks durch die Gruppe${\rm Diff}(M)$von global definierten Diffeomorphismen.
    • Pullbacks durch den Gruppoid${\rm LocDiff}(M)$von lokal definierten Diffeomorphismen.
    • Der Gruppoid$LCT(M)$von lokalen Koordinatentransformationen und
    • Die lokale$SO(3,1;\mathbb{R})$Lorentz-Transformationen (9) der Tetraden/Vierbeine.

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$^1$In den meisten dieser Antworten werden wir die Sprache eines Differentialgeometers verwenden, wo zB ein Punkt/Raumzeit-Ereignis ist$p\in M$oder, sagen wir, eine Weltlinie haben eine absolute geometrische Bedeutung. Der Leser sollte jedoch bedenken, dass ein Relativist sagen würde, dass zwei physikalische Situationen, die sich durch einen aktiven globalen Diffeomorphismus unterscheiden, physikalisch äquivalent/nicht unterscheidbar sind und daher ein Punkt/Raumzeit-Ereignis$p\in M$hat nur eine relative geometrische Bedeutung.

$^2$Konventionen: Griechische Indizes$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$sind sogenannte gekrümmte Indizes, während römische Indizes$a,b,c, \ldots,$sind sogenannte Flat- Indizes.

Eine sehr gute Antwort auf die obige Frage wurde bereits hier gegeben , wo Marek die Unterschiede zwischen der Symmetriegruppe einer Theorie und den Gruppen von Koordinatentransformationen zusammenfasst, wobei die Gleichungen invariant bleiben.

Kurz gesagt (aber es ist komplexer) lassen$f\colon U\to V$sei eine beliebige Koordinatentransformation auf Diagrammen einer Mannigfaltigkeit$U,V\subset\mathcal{M}$(dh eine Änderung der Koordinaten ). Unter solchen Transformationsfeldern$\phi(x)$hineingeschickt werden$\phi'(f(x)) = S(x)\phi(x)$.

Damit die Bewegungsgleichungen erfüllt werden, müssen bestimmte geeignete Bedingungen an den Faktor gestellt werden$S(x)$(insbesondere kann man sehen, dass diese mit den Darstellungen der zugrunde liegenden Gruppe von Transformationen zusammenhängen könnten$f$). Die Menge aller erlaubten Operatoren$S(x)$definiert die Symmetriegruppe der Theorie für die allgemeine Abbildung$f$wie oben definiert. Im Fall der Allgemeinen Relativitätstheorie$f$sind die Diffeomorphismen und$S(x)$überspannen die allgemeine lineare Gruppe (bis auf Isomorphismen und kartesische Produkte).