Basiert die Allgemeine Relativitätstheorie auf einer Symmetrie?

Kurz gesagt: Gibt es irgendeine Art von Symmetrie, mit der man beginnen kann, um die Allgemeine Relativitätstheorie (GR) abzuleiten?

Länger: Einstein war der Meinung, GR sei die Verallgemeinerung der speziellen Relativitätstheorie, denn statt Inertialsystemen sind in GR alle Koordinatensysteme gleichermaßen erlaubt. Dies wird allgemein als allgemeine Kovarianz bezeichnet. Leider stellte sich dies bald als falsch heraus, da jede Theorie allgemein kovariant geschrieben werden kann und dies daher nicht das bestimmende Merkmal der Allgemeinen Relativitätstheorie sein kann.

1) In Analogie zu SR kann man nach der Gruppe suchen, die eine gegebene Metrik (= eine Lösung der Einstien-Gleichung), die eine gegebene Situation beschreibt, invariant lässt. Diese werden Tötungsgruppen genannt und gelten nur für eine bestimmte Situation. Für die Minkowski-Metrik findet man die Poincare-Gruppe (=die Symmetriegruppe der speziellen Relativitätstheorie) und beispielsweise für die Schwarzschild-Metrik ist die entsprechende Killing-Gruppe eine Untergruppe der Poincare-Gruppe (siehe http://en.wikipedia.org/ wiki/Schwarzschild_metric#Symmetries ). Wenn man jedoch nach der Symmetriegruppe sucht, die eine allgemeine Lösung der Einstein-Gleichung (eine allgemeine Metrik) invariant lässt, findet man, dass diese Gruppe nur die Identitätstransformation enthält.

2) Alternativ gibt es den Anderson-Ansatz, der es ermöglicht, zwischen Kovarianz und Invarianz zu unterscheiden, indem er den Begriff dynamischer und absoluter Objekte einer gegebenen Theorie einführt. Die Kovarianzgruppe lässt den Raum kinematisch erlaubter Modelle invariant, während die Invarianzgruppe eine Untergruppe der Kovarianzgruppe ist, die die absoluten Objekte der Theorie invariant lässt . Auf diese Weise lässt sich präzisieren, was die Allgemeine Relativitätstheorie von allen anderen Theorien unterscheidet:

Ein absolutes Objekt der speziellen Relativitätstheorie ist die Minkowski-Metrik und die entsprechende Invarianzgruppe ist die Poincare-Gruppe. In der Standardformulierung ist die entsprechende Kovarianzgruppe ebenfalls die Poincare-Gruppe. Trotzdem ist es möglich, die Gleichungen von SR so umzuschreiben, dass die Theorie allgemein kovariant wird und mit anderen Worten: die Kovarianzgruppe wird$Diff(M)$, die Gruppe aller Diffeomorphismen. Entscheidend ist also die Invarianzgruppe.

Nun ist GR die Theorie mit Invarianzgruppe$Diff(M)$, dh alle Diffeomorphismen lassen die absoluten Objekte der Theorie invariant. Dies könnte als das bestimmende Merkmal von GR angesehen werden. Der nächste Schritt wäre zu fragen: Was sind die absoluten Objekte von GR? Antwort: GR hat keine absoluten Objekte. Daher ist es kein Wunder, dass alle Diffeomorphismen die absoluten Objekte invariant lassen.

Die beiden oben beschriebenen möglichen Symmetriekonzepte sind diejenigen, über die ich die meiste Zeit bei der Suche nach Symmetrie und GR gestolpert bin. Leider scheinen beide nicht brauchbar zu sein bei der Suche nach dem bestimmenden Merkmal von GR. Soweit ich verstehe und in den von mir gelesenen Büchern dargestellt wird, basiert GR nicht auf einer Art Symmetrie oder Symmetrieidee, sondern ist eher ein Ergebnis der Idee Gravitation = Krümmung der Raumzeit (+ Äquivalenzprinzip?). Dies steht im krassen Gegensatz zu allen anderen fundamentalen Theorien der Physik, die ausnahmslos auf Symmetrie beruhen.

Gibt es eine Art Symmetrieidee, vielleicht im weiteren Sinne, auf der die Allgemeine Relativitätstheorie basiert? Irgendwelche Ideen oder Vorschläge würden ehrfürchtig sein!