Ist das eine Quaternion-Darstellung der Bewegungsgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Diese Gleichung ist die geodätische Gleichung in den quaternionischen Koordinaten, wobei$u$ist der vierfache Geschwindigkeitsvektor.

Ich werde Ihnen eine Ableitung dieser Gleichung im bekannteren lokalen Lorentz-Formalismus geben und dann die Äquivalenz feststellen.

Dazu ein Rahmen aus vielbeins$e_a = e^{\mu}_a \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. Die geodätische Gleichung ist einfach die Aussage, dass die vier Geschwindigkeiten$v = v^a e_a$ist eine Invariante:

$dv= 0$

Wenn wir diese Gleichung in Komponenten schreiben, erhalten wir:

$dv^a + \omega^a_b v^b = 0$

wo:$e^b$sind die inversen vielbeins und$\omega^a_b = \omega^a_{\mu b} dx^{\mu}$ist die Spin-Verbindung eine Form, definiert durch:

$de_b = \omega^b_c e_c$

Die geodätische Gleichung kann durch Einsetzen in die übliche Koordinatendarstellung geschrieben werden:

$v^a = v^{\mu} e_{\mu}^a$

und unter Verwendung der torsionsfreien Bedingung:

$\partial_{ \mu} e_{\nu}^a + \omega_{\mu b}^a e_{\nu}^a - \Gamma_{\mu \nu}^{\lambda} e_{\lambda}^a = 0$

Nachdem nun festgestellt wurde, dass die Invarianve der vier Geschwindigkeitsvektoren die geodätische Gleichung ergibt, gibt es noch eine andere Darstellung derselben Gleichung nach dem folgenden Prinzip:

Es existiert eine lokale Lorentz-Transformation (kann singulär sein), die in das Teilchenruhesystem transformiert, dh es existiert

$v\prime^a = \Lambda^a_b(x) v^a$

so dass

$dv\prime^a = 0$(Komponentenmäßig bedeutet diese Gleichung nur, dass die Komponenten der Geschwindigkeit im Ruhesystem Konstanten sind).

Unter Verwendung der beiden obigen Gleichungen sehen wir das lokal:

$\omega^a_b = d\Lambda_a^c \Lambda_c^b$

Setzen wir diese Gleichung in die erste Version der geodätischen Gleichung ein, erhalten wir:

$dv^a + d\Lambda_a^c \Lambda_c^b v^b = 0$

Diese Gleichung ist nur die vektorielle Version der geodätischen Gleichung aus dem Artikel.

Die rechte Seite besteht aus einer endlichen lokalen Lorentz-Transformation, gefolgt von einer infinitesimalen, wie in der quaternionischen Darstellung.

Zusammenfassend basiert diese Form der geodätischen Gleichung auf den folgenden zwei Prinzipien:

1. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Viergeschwindigkeit eine Invariante.

2. Es existiert ein lokaler Lorentzrahmen, in dem alle Geschwindigkeitskomponenten Konstanten sind.