Wie schreibt man einen dreidimensionalen de Sitter-Raum als Quotient SL(2,C)/SL(2,R)SL(2,C)/SL(2,R)SL(2, C)/SL(2, R)?

Lassen$\mathbb{R}^{1,3}$sei der vierdimensionale reelle Vektorraum mit Minkowsky-Metrik (quadratische Form)$Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2$für jeden Vektor$x = (x_0,x_1,x_2,x_3) \, \in \, \mathbb{R}^{1,3}$. Definiere einen Isomorphismus zwischen$\mathbb{R}^{1,3}$und der folgende vierdimensionale Vektorraum hermitescher Matrizen

$$R({1,3}) = \left\{X = \begin{pmatrix} x_0+x_3 & x_1 + i\,x_2\\ x_1 - i \, x_2 & x_0 - x_3 \end{pmatrix} \,\, : \,\, (x_0,x_1,x_2,x_3) \, \in \, \mathbb{R}^{1,3}\right\}$$ zusammen mit der quadratischen Form $\det(X) = Q(x) = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^2$. Dann die übliche Wirkung (als Matrix mal Vektor) der Lorentz-Gruppe $SO^{+}(1,3)$An $\mathbb{R}^{1,3}$ist isomorph zur adjungierten Wirkung von $SL(2,\mathbb{C})$ $$X \, \mapsto \, T\,X\,T^{-1}$$ für jede Matrix $T \in SL(2,\mathbb{C})$. In diesem Matrixbild ist der de Sitter-Raum definiert als $$\text{de}S = \{X \in R(1,3) \,\, : \,\, \det(X) = -1 \}$$ Der letztere Raum ist ein homogener Raum in Bezug auf die adjungierte Aktion (Konjugationsaktion) von $SL(2,\mathbb{C})$und der Stabilisator von jedem Punkt von $\text{de}S$ is isomorphic to $SL(2,\mathbb{R})$. More precisely, fix the matrix $X_0 = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$ from $\text{de}S$. Then we have the following principle bundle construction $$\pi_0 \, : \, SL(2,\mathbb{R}) \, \to \, \text{de}S$$ $$\pi_0(T) = T\,X_0 \,T^{-1}$$ Der Stabilisator von $X_0$In $SL(2,\mathbb{C})$ist genau $SL(2,\mathbb{R})$was bedeutet, dass für alle $S \in SL(2,\mathbb{C})$, $\,\,S \, X_0 \, S^{-1} = X_0$dann und nur dann, wenn $S \in SL(2,\mathbb{R})$. Letztere Tatsache bedeutet, dass die richtige Aktion $T \mapsto TS$von $SL(2,\mathbb{R})$An $SL(2,\mathbb{C})$ist die Aktion der Strukturgruppe $SL(2,\mathbb{R})$auf den gesamten Bündelplatz $SL(2,\mathbb{C})$und die Bündelprojektion $\pi_0$ist bezüglich dieser Aktion unveränderlich, dh $\pi_0(TS) = \pi_0(T)$. Deshalb $$SL(2,\mathbb{C}) / SL(2,\mathbb{R}) \,\, \text{ is diffeomorphic to the base space } \, \text{de}S$$ das ist der de-Sitter-Raum.