Dimensionsreduktion von Yang-Mills auf die m(atrix)-Theorie

Die Yang-Mills-Aktion wird normalerweise durch gegeben

$$S= \int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$

mit der Feldstärke definiert als$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-ig\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$,$A_{\mu}$in der adjungierten Darstellung ein hermitisches U(N)-Eichfeld ist,$\theta$sein$16\times1$Majorana-Weyl-Spinor von$SO(9)$in der adjungierten Darstellung und$\mu=0,\dots,9$. Die kovariante Ableitung ist gegeben durch$D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta-ig\left[A_{\mu},\theta\right]$. Wir verwenden eine Metrik mit überwiegend positiven Vorzeichen.

Wir skalieren die Felder neu um$A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$und lass$g^{2}\to\lambda$was uns gibt

$$S=\int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(\frac{1}{4\lambda}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$ mit der Feldstärke definiert als $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$und die kovariante Ableitung $D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A_{\mu},\theta\right]$.

Nun führen wir eine Dimensionsreduktion aus $9+1$Zu $0+1$, so dass alle Felder nur von der Zeit abhängen, dann verschwinden alle räumlichen Ableitungen, dh $\partial_{a}(\text{Anything})=0$. Der $10$-dimensionales Vektorfeld zerfällt in $9$Skalare Felder $A_{a}$die wir umbenennen $X^{a}$und ein Messfeld $A_{0}$die wir umbenennen $A$. Dies ergibt (beachten Sie, dass $\gamma^{t}=\mathbb{I}$und das $\gamma^{a}=\gamma_{a}$. $$F_{0a}= \partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right],\quad F_{ab}=+\left[X^{a},X^{b}\right] \gamma^{t}D_{t}\theta= \partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right],\quad\gamma^{a}D_{a}\theta=\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]$$

Die Aktion für diese Theorie ist dann

$$S=\int\text{d}t\,\text{Tr}\left(\frac{1}{2\lambda}\bigg\{-\left(D_{t}X^{a}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}\bigg\}-\theta^{T}D_{t}\theta-\theta^{T}\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]\right)$$ wobei die kovariante Ableitung definiert ist als $D_{t}X^{a}=\partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right]$Und $D_{t}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right]$

Nun zur Frage. Ich brauche die potentielle Energie $V=+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$negativ sein, nicht positiv.

Taylor hat eine Diskussion darüber in seinem Artikel "Lectures on D-branes, Gauge Theory and M(atrices)" ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9801182 ) auf Seite 10, wo er schreibt:
" Da die von uns verwendete Metrik eine überwiegend positive Signatur hat, haben die kinetischen Terme einen einzelnen erhöhten Index 0, der einem Vorzeichenwechsel entspricht, sodass die kinetischen Terme tatsächlich das richtige Vorzeichen haben $\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$der als potentieller Term fungiert, ist eigentlich negativ definit. Dies folgt daraus, dass $\left[X^{a},X^{b}\right]^{\dagger}=\left[X^{b},X^{a}\right]=-\left[X^{a},X^{b}\right]$. Daher sind, wie erwartet, kinetische Terme in der Aktion positiv, während potentielle Terme negativ sind."

Aber ich verstehe nicht, wo die Hermitesche Konjugation ist $^\dagger$kommt von, für mich ist dieser Begriff nur: $$\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}=\left[X^{a},X^{b}\right]\left[X_{a},X_{b}\right]$$

Beachten Sie, dass Taylor ein wenig andere Konventionen verwendet, wenn er neu skaliert, anstatt $A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$Er benutzt $A_{\mu}\to\frac{1}{g}A_{\mu}$Und $\theta \to\frac{1}{g}\theta$. Aber das sollte meiner Meinung nach keine Probleme verursachen.