Diagonalisieren Sie den Massenmatrixterm für Fermionen und den "Verdopplungstrick" in der m(atrix)-Theorie

Lassen$M$sei die Massenmatrix für Fermionen$\psi_+$und für$\psi_-$(separat). Es wird durch erhalten$\not{D}\not{D^+}= -\partial_t^2+ M^2$

Dann$M^2=r^2 \mathbb{Id_{16}}- \not{v}$, Jetzt die$16*16$Matrix$\not{v}$hat eine Nullspur, und es ist quadratisch$\vec v^2 Id_{16}$, also ist die einzige Möglichkeit, dass die Matrix$\not{v}$hat 8 Eigenwerte$v$, und 8 Eigenwerte$-v$(Hier$v$bedeutet$\sqrt{\vec v^2}$). Also die Matrix$M^2$hat 8 Eigenwerte$r^2+v$und 8 Eigenwerte$r^2-v$. Dies gilt für$\psi_+$und für$\psi_-$, während$\psi_3$ist offensichtlich masselos.

[BEARBEITEN]

Die Gammamatrizen von$SO(9)$sind echt, also$\not{B}$ist hermitesch.$\partial_t$ist antihermitesch (weil$i\partial_t$ist hermitesch), also beginnend mit$\not{D}=\partial_t-\not{B}$, das sieht man leicht$\not{D}^{\dagger}=-\partial_t-\not{B}$

Wenn Sie Ordnung 3 Terme in der Lagrange-Funktion vernachlässigen ($\psi^2Y, \psi^2A$) und wenden Sie die Lagrange-Gleichung an$\psi_+$, du erhältst$\not{D}\psi_-=0$. Und weil$\psi_+ = (\psi_-)^*$, Und$\not{B}$ist echt, hast du auch$\not{D}\psi_+=0$

Die Massenmatrix gilt gesondert$\psi_+$Und$\psi_-$, einfach weil$\psi_+ = (\psi_-)^*$, und die Massenmatrix ist reell.