Ich lese gerade Kapitel 4 des Buches von Green, Schwarz und Witten. Sie erwägen eine Aktion
S= −12π _∫D2σ(∂aXμ∂aXμ− ichψ¯μρa∂aψμ) ,,(4.1.2)
Wo
ψμ
sind Majorana-Spinoren,
ρ0= (0ich− ich0) ,ρ1= (0ichich0) ,(4.1.3)
ψ¯=ψ†ρ0.
Es wird behauptet, dass diese Wirkung unter den folgenden infinitesimalen Transformationen unveränderlich ist
δXμδψμ=ε¯ψμ,= − ichρa∂aXμ, _(4.1.8)
Wo
ε
ist ein konstanter (unabhängig von den Koordinaten des Worldsheets) Anti-Pendel-Majorana-Spinor.
Ich kann es nicht beweisen. Können Sie mir zeigen, wo ich falsch liege?
δ(∂aXμ∂aXμ) =2∂aXμ∂aψ¯με
(Ich benutzte
χ¯ψ =ψ¯χ
Identität).
δ( - d.hψ¯μρa∂aψμ) =−ich( - d.hρa∂aXμ) _¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ρβ∂βψμ− ichψ¯μρa∂a( - d.hρβ∂βXμ) _= −ρβ∂βψμ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ρa∂aXμε -ψ¯μρa∂aρβ∂βXμ. _
Beachten Sie, dass
ρβ∂βψμ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=∂βψ†μ(ρβ)†ρ0≡∂0ψ†μ(ρ0)†ρ0+∂1ψ†μ(ρ1)†ρ0=∂0ψ†μρ0ρ0−∂1ψ†μρ1ρ0=∂0ψ†μρ0ρ0+∂1ψ†μρ0ρ1≡∂βψ¯μρβ.
So
δ( - d.hψ¯μρa∂aψμ) =−∂βψ¯μρβρa∂aXμε -ψ¯μρa∂aρβ∂βXμε≡ −∂aψ¯μρaρβ∂βXμε -ψ¯μρa∂aρβ∂βXμ. _
Wie kann die Variation verschwinden? Ich sehe keine Chance. Ich erinnere daran, dass die Symmetrie global ist, sodass wir nicht einmal partiell integrieren können.
Kyle Kanos
vanger