Diskontinuität im Gravitationspotential

Das Problem dabei ist, dass viele einführende Physikkurse sagen, dass Gravitation potentielle Energie ist

$$U = mgh.$$ Dies ist ein ungefährer Ausdruck, der nur funktioniert, wenn Ihre Masse $m$ist viel leichter als die Erde und relativ nah an der Erde. Es bricht jedoch zusammen, sobald Sie anfangen, kompliziertere Situationen in Betracht zu ziehen.

Angenommen, wir hätten ein Objekt zwischen der Erde und dem Mond. Dann, wenn es nahe am Mond ist, haben wir

$$U \approx m g_{\text{moon}} h_{\text{moon}}$$ und wenn es nahe an der Erde ist, haben wir $$U \approx m g_{\text{Earth}} h_{\text{Earth}}.$$ Diese beiden Ausdrücke lassen sich jedoch nicht überall einheitlich kombinieren. In Einführungskursen wird dieser Punkt manchmal beschönigt, indem gesagt wird, dass man nur den nächsten / wichtigsten schweren Körper betrachten sollte, wie den, auf den man fallen würde, wenn man das Objekt loslässt. Aber das impliziert, dass sich das Potential diskontinuierlich von der ersten Option zur zweiten Option ändert, wenn Sie sich vom Mond zur Erde nähern, als würde sich das Potential des Mondes plötzlich "ausschalten".

Dieses Problem tritt auf, weil beide obigen Ausdrücke nur ungefähr sind. Die wahre potentielle Energie ist

$$U = -\frac{GM_{\text{moon}}m}{r_{\text{moon}}} - \frac{GM_{\text{Earth}}m}{r_{\text{Earth}}}$$ bei dem die $r$s sind die Entfernungen zum Mittelpunkt von Mond und Erde. Mit etwas Kalkül können Sie zeigen, dass sich dies auf die beiden vorherigen Ausdrücke reduziert, wenn das Objekt entweder dem Mond oder der Erde sehr nahe ist.

Das Potential wird immer als Integral definiert

$$U(\vec{x}) = \int^{\vec{x}}_{\vec{x}_0\:\:\Gamma} \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}\tag{1}$$ der Weg $\Gamma$schließt sich an $\vec{x}_0$Zu $\vec{x}$und seine Form ist irrelevant, nur weil das Vektorfeld $\vec{F} = \vec{F}(\vec{r})$ist konservativ.

Es ist eine einfache Übung zu beweisen, dass die rechte Seite von (1) als Funktion von gilt$\vec{x}$ist immer stetig, wenn die Funktion$\vec{F}$integrierbar ist (egal ob man den Begriff des Integrals von Riemann oder Lebesgue übernimmt). Wenn die Funktion$\vec{F}$ist nicht integrierbar, das Potential existiert gar nicht.

Zusammenfassend: Wenn das Potential vorhanden ist, ist es notwendigerweise kontinuierlich .

Bezüglich Ihrer Frage konzentrieren wir uns auf Ihre Aussage.

„Aber wenn Sie eine bestimmte Höhe überschreiten, kann die Schwerkraft plötzlich nicht mehr über das Objekt ziehen und es kann so interpretiert werden, dass das Potenzial auf Null gedreht wird.“

Das ist falsch, die richtige Aussage würde so enden

"...es kann so interpretiert werden, dass das Potential [kontinuierlich!] auf einen konstanten Wert gedreht wird."

da die Kraft die Ableitung des Potentials ist und die Ableitung einer Konstanten verschwindet.