Doppelsemion-Modell auf einem quadratischen Gitter

Wir betrachten das in der Arbeit von Levin und Wen vorgeschlagene Doppelsemion-Modell

http://arxiv.org/abs/cond-mat/0404617

http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.71.045110

In ihrer Arbeit wird das Doppelsemion-Modell auf einem Wabengitter definiert.

Jetzt versuche ich, dasselbe Modell auf einem quadratischen Gitter zu untersuchen.

Frage 1: Ist der folgende Hamiltonoperator richtig?

H = − ∑ Scheitel ∏ k ∈ Scheitel σ k z + ∑ Plakette [ ∏ J ∈ Beine ich ( 1 − σ J z ) / 2 ] ∏ k ∈ Plakette σ k X .
Auf der Figur befinden sich insgesamt 8 grüne Beine um jede Plakette.

Wie in der Arbeit von Levin und Wen gezeigt, ist der Grundzustand des Doppelsemion-Modells die gleichgewichtige Überlagerung aller geschlossenen Schleifen, und jede Schleife trägt ein Minuszeichen bei. Bei einer Schleifenkonfiguration ist die Wellenfunktionskomponente gegeben durch ( − 1 ) Anzahl Schleifen . Wenn wir eine gerade (ungerade) Anzahl von Schleifen haben, ist die Wellenfunktionskomponente dieser Konfiguration + 1 ( − 1 ). Auf dem Wabengitter sieht alles gut aus. Aber ich verwirre den Zustand auf dem quadratischen Gitter, wenn sich die Saiten kreuzen.

Frage 2: Sollten wir die folgenden zwei Konfigurationen als eine Schleife oder zwei Schleifen betrachten? Haben sie in der Grundzustandswellenfunktion die gleiche Amplitude?

Hier betrachten wir a 3 × 3 Torus, dh wir haben periodische Randbedingungen in beiden Richtungen. Die rote Linie bezeichnet die Saite, dh der Spin ist | ↓ ⟩ auf jedem roten Link.

Das ist Konfiguration I.

Das ist Konfiguration II.

Als Erstes müssen Sie sicherstellen, dass alle Terme in Ihrem Hamiltonoperator miteinander pendeln. Um dann zu prüfen, ob die Grundzustands-Wellenfunktion ein Doppelsemion ist, betrachten wir einen der Plakettenterme, die auf einen Zustand ohne Strings wirken (dh σ z = − 1 überall). Der Begriff erzeugt eine geschlossene Schnur entlang der Plakette, aber der Phasenfaktor ∏ J ∈ Beine ich ( 1 − σ J z ) / 2 = ich 8 = 1 (während es auf einem Wabengitter ist ich 6 = − 1 ). Scheint also nicht zu klappen.
@MengCheng Ich glaube, ich verwende eine andere Notation. Zeichenfolge bedeutet σ z = − 1 , und keine Zeichenfolge bedeutet σ z = + 1 . Wenn wir aus dem Zustand ohne Saite eine Ein-Plaque-Saite erzeugen, ist der Phasenfaktor ich 0 = 1 sowohl für Quadrat- als auch für Wabengitter. Ist in diesem Fall der Hamiltonoperator richtig? Danke!
@Nr.9999 Aber wenn Sie eine einzelne Schleife erstellen, sollte sich das Vorzeichen ändern ! --- Dies sagt Ihnen auch, dass Sie nicht einfach Ihre Konvention für das ändern können, was Sie im Doppelsemion-Modell "String" nennen. (Dies ist beim Torischen Code tatsächlich anders.)
@NorbertSchuch Ich denke, wir können diese Konvention immer noch verwenden. Bitte beachten Sie, dass ich den Plakettenbegriffen ein Pluszeichen voranstelle, während wir beim Toric-Code-Modell normalerweise an derselben Stelle ein Minuszeichen setzen. Dank Ihrer Antwort unten habe ich den richtigen Hamiltonian gefunden, indem ich den Phasenfaktor auf ganz andere Weise gezählt habe (aber immer noch meine alte Konvention verwende).
Hallo @Nr.9999, ich interessiere mich für die korrekte Form des doppelten Semion-Hamilton-Operators auf dem quadratischen Gitter. Darf ich wissen, was es ist? Danke.

Antworten (1)

Die definierende Eigenschaft des Doppel-Semion-Modells ist die Natur des Grundzustands als Überlagerung von Schleifenmustern mit wechselnden Vorzeichen und nicht die Form seines Hamilton-Operators. Wie Sie bemerkt haben, ist es nicht klar, wie Schleifen auf einem quadratischen Gitter gezählt werden. Dies ist meines Erachtens ein Grund, warum die Fadennetzmodelle auf Wabengittern definiert sind, da es erlaubt, Schleifen eindeutig zu zählen. (Tatsächlich würde jeder dreiwertige Graph ausreichen.)

Wenn Sie einen Weg zum Zählen von Schleifen auf einem quadratischen Gitter definieren möchten, besteht eine Möglichkeit darin, es so zu "dekorieren", dass es zu einem dreiwertigen Gitter wird. Das heißt, Sie ersetzen jeden vierwertigen Scheitelpunkt durch zwei dreiwertige Scheitelpunkte mit einer Kante zwischen. Der Zustand der zusätzlichen Kante wird eindeutig durch den Zustand der umgebenden Kanten bestimmt, und somit können Sie Schleifen auf dem quadratischen Gitter zählen. Auf die gleiche Weise können Sie den Waben-Hamilton-Operator auf einen neuen Hamilton-Operator auf dem quadratischen Gitter abbilden. Beachten Sie jedoch, dass diese Abbildung notwendigerweise eine gewisse Gittersymmetrie brechen wird.

Ihr Hamilton-Operator ist rotationsinvariant, daher vermute ich, dass es nicht der richtige Hamilton-Operator ist. Ich habe es nicht sorgfältig analysiert, aber Sie könnten versuchen, es auf einem 4x4-Gitter genau zu diagonalisieren und den Bodenunterraum zu überprüfen. Alternativ können Sie verschiedene Bewegungen untersuchen, um von einer Konfiguration zur anderen zu wechseln, und prüfen, ob sie alle dieselbe Phase ergeben (ich vermute, dass nein, und es wird Absagen geben). Dazu müssen Sie natürlich zuerst eine Konvention zum Zählen von Schleifen auswählen.

Vielen Dank! Tatsächlich können wir den korrekten Zustand und den korrekten Hamilton-Operator erhalten, indem wir das Wabengitter auf das quadratische Gitter abbilden. Der richtige Hamiltonoperator ist nicht mehr rotationsinvariant. @NorbertSchuch
Doppelsemion-Modell auf einem quadratischen Gitter
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v