Drehimpulskopplung-Berechnung von Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Ich habe ein Problem bei der Berechnung des Werts gegebener Clebsch-Gordan-Koeffizienten , die die gekoppelten Drehimpulse eines Zwei-Teilchen-Systems darstellen. Zum Beispiel

( 2 1 2 1 − 1 0 )

Im Buch wird es zunächst in drei Teile gerne erweitert

( 2 1 2 0 0 0 ) , ( 2 1 2 1 − 1 0 ) , ( 2 1 2 − 1 1 0 )

Ich bin wirklich sehr verwirrt darüber, welche Symmetrieeigenschaft verwendet werden soll?

Ich kenne hier die Orthonormalitätsbedingung des hier angewendeten Koeffizienten. Aber warum stehen hier in der zweiten Reihe die Werte an erster Stelle ( 0 0 0 ) Dann ( 1 − 1 0 ) und dann ( − 1 1 0 ) ? Bitte helfen Sie! Ich werde Ihnen dankbar sein.

Ein bisschen mehr an Informationen. Bitte überprüfen Sie Ihre Syntax. Wenn Sie alles in Klammern setzen, sieht es aus wie Wigner 3j-Symbole. Sie sind eine weitere Darstellung von CG-Koeffizienten, aber ich bezweifle, dass Sie die 3j-Syntax verwenden. Definieren Sie Ihre Frage in einem richtigen | ( J , M ) J 1 , M 1 , J 2 , M 2 > Basis

Antworten (1)

Wenn Sie sich den Wikipedia-Eintrag für die Wigner 3-j-Symbole ansehen: http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_3-j_symbols

Sie werden sehen, dass diese Symbole verwandt sind, indem sie zwei Spin-Zustände kombinieren, um einen dritten Zustand zu erhalten:

( J 1 J 2 J 3 M 1 M 2 M 3 ) ≡ ( − 1 ) J 1 − J 2 − M 3 2 J 3 + 1 ⟨ J 1 M 1 J 2 M 2 | J 3 − M 3 ⟩ .

Unter Vernachlässigung von Koeffizienten lautet die Interpretation, dass die ersten beiden Spalten die Zustände sind, die hinzugefügt werden, und die dritte Spalte der resultierende Zustand ist.

Das sagt uns einiges. Erstens sagt es uns, dass die Summe der unteren Reihe gleich 0 sein muss. Dies ist nur die Erhaltung des Drehimpulses (in z-Richtung). Daher, M 1 + M 2 = M 3 .

Also, zurück zu Ihrer ursprünglichen Frage, das ursprüngliche 3-j-Symbol kann in eine Summe anderer Symbole erweitert werden. Physikalisch bedeutet dies: Wenn zwei Teilchen mit festem Gesamtspin (in diesem Fall Spin 1 und Spin 2) gegeben sind, wie kann ich sie addieren, um einen effektiven Zustand von Gesamtspin 2 zu erhalten?

Wenn man sich nur auf die untere Reihe konzentriert, die die Drehimpulse der Teilchen in z-Richtung darstellt, kann der erste Eintrag 2, 1, 0, –1, –2 (die möglichen Spins in z-Richtung eines Spin-2-Teilchens) und sein der zweite Eintrag in der zweiten Zeile kann nur 1, 0, -1 sein (es ist ein Spin-1-Teilchen). Aber diese beiden müssen sich zu 0 addieren. Angesichts dieser Auswahl gibt es also nur drei Kombinationen, die funktionieren: 0 + 0 = 0, 1 + -1 = 0, -1 + 1 = 0. Deshalb nur diese drei Symbole werden aufgelistet: alle anderen verschwinden.

Die physikalische Interpretation ist: Wenn ich ein Spin-2-Teilchen und ein Spin-1-Teilchen gegeben habe, kann ich sie miteinander kombinieren, um ein effektives Spin-2-Teilchen mit 0 Drehimpulsen in z-Richtung zu bilden. Dazu benötige ich nur 3 Terme in der Summe, und der Wert der 3-j-Symbole gibt Ihnen die Koeffizienten jedes Terms in der Summe.

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