Drehimpuls - Beweis für ganzzahlige oder halbzahlige Eigenwerte

Deine Punkte 1-3 sind in Ordnung. Es gibt einen maximalen und einen minimalen Wert von$m$. Nennen Sie den Maximalwert$M$(wir müssen es irgendwie nennen). Jetzt können wir den Lower-Operator beliebig oft anwenden, jedes Mal, wenn er den Wert von verringert$m$um einen ganzzahligen Betrag. Maximal- und Minimalwert haben einen endlichen Unterschied$d$. Also, wenn Sie runden$d$bis zur nächsten Ganzzahl$n$Sie sehen das, wenn Sie den Absenkoperator anwenden$n$Zeiten müssen den Zustand des niedrigsten ergeben$m$(oder sonst zuerst einen Zustand der Größe Null erreichen). Eine endliche Anzahl von Anwendungen des Absenkoperators sendete also den Maximalwert$M$auf den Mindestwert, sie unterscheiden sich also um einen ganzzahligen Betrag (jedes Mal, wenn Sie$m$sank um 1). Also die maximalen und die minimalen Werte von$m$sich um eine ganze Zahl unterscheiden.

Für mich ist das der Beweis dafür$j=M$ist ein ganzzahliger oder halbzahliger Wert ($n=j-(-j)=2j$). Es hört sich so an, als wären Ihre Beweise rückwärts und Sie versuchen auch, eine unwahre Behauptung zu beweisen (das$m$muss ganzzahlig sein, wenn etwa der Spin eines Teilchens Spin 1/2 haben kann$m=1/2$).

Um explizit zu zeigen, dass m = 1/2 möglich ist, lassen Sie$J_x=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_x$,$J_y=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_y$,$J_z=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_z$Und$J^2=\hbar^23/4\left( \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\right)$. Beachten Sie dann, dass sie die Kommutierungsbeziehungen erfüllen. Beachten Sie dann, dass die Eigenwerte von$J_z$Sind$\pm \hbar/2$somit$m=\pm 1/2$per Definition.

Somit ist es unmöglich, Ihre gewünschte Behauptung zu beweisen$m$ist eine ganze Zahl aus der Hypothese, da der obige Absatz die Hypothese erfüllt und die Schlussfolgerung dennoch falsch ist$m=1/2$ist keine ganze Zahl, aber ein vollkommen guter Wert.

Antwort auf die bearbeitete Frage

Wenn Sie zwei Werte von haben$m$die sich um eine nicht ganze Zahl unterscheiden, dann kann der Absenkoperator, der viele Male auf jeden angewendet wird, nicht beide bei ein und demselben niedrigsten Wert anhalten$m$Zustand. Es müsste also einen Staat neben dem niedrigsten geben$m$Zustand, der vom Absenkoperator auf Null gesendet wird.

Zeigen Sie (oder nehmen Sie an), dass das nicht passieren kann, und Sie sind ziemlich fertig.

Ihr Punkt 1. zeigen Sie, dass wenn$j$(vermutet$>0$) ist der Maximalwert von$m$, Dann$-j$ist der niedrigste Wert, dh die Verhältnisse liegen symmetrisch an$m$.

Ihr Punkt 2. zeigt, dass Sie erreichbar sein müssen$j$aus$-j$Verwenden einer ganzzahligen Anzahl von Schritten, was dasselbe ist wie zu sagen$2j$muss eine ganze Zahl sein.

Zu deiner letzten Frage: Da hast du das bewiesen$J_\pm$Erhöhen oder verringern Sie um 1, beginnen Sie mit dem Maximalwert von$m$, welches ist$j$und "durchkurbeln" mit$J_-$. Sie können Zustände nur mit erreichen$m$Werte gegeben durch$j,j-1,\ldots,-j$.

Nehmen Sie zum Zwecke der Diskussion an, dass Ihre$j=4/3$, so dass$2j$ist keine ganze Zahl. Bewirbt sich$J_-$erzeugt wiederholt die Folge von$m$Werte$4/3,1/3,-2/3$. Es ist leicht zu sehen, dass die Kleinsten$m$ist nicht das Negativ des Größten$m$; diese Folge von$m$'s hat keine physikalische Bedeutung, da die Umkehrung der$z$Achse sollte nur das Vorzeichen der Projektion umkehren$m$, was die Symmetrie im Zeichen rechtfertigt$m$in deinem Punkt 1 gekapselt. Außerdem bekommst du nie etwas, aber$\Delta m=\pm 1$.